Chủ đề này có 1 trả lời

[Mrnhan]

Tính tích phân sau:

$$I=\int_{\alpha}^{1+\alpha} \ln \Gamma(x)dx,\: \alpha >0$$

[Mrnhan]

Tính tích phân sau:

$$I=\int_{\alpha}^{1+\alpha} \ln \Gamma(x)dx,\: \alpha >0$$

Sao đăng lâu rồi không ai giải vậy?

Bài làm của mình.

Lời Giải:

Khi $\alpha=0$ thì

 

$$I(0)=\int_0^1\ln\Gamma(x)dx=\int_{0}^{1}\ln\Gamma(1-x)dx=\frac{1}{2}\int_0^1\left [ \ln\Gamma(x)+\ln\Gamma(1-x) \right ]dx$$

 

$$=\frac{1}{2}\int_0^1\ln\left [ \Gamma(x)\Gamma(1-x) \right ]dx=\frac{1}{2}\int_{0}^1\ln\frac{\pi}{\sin \pi x}dx=\frac{1}{2}\ln\pi+\frac{1}{2}\ln2$$

 

Xét tích tham số $$I(\alpha)=\int_{\alpha}^{1+\alpha} \ln \Gamma(x)dx$$

 

Chứng minh các tính chất để đạo hàm một tích phân tham số

 

$$I'(\alpha)=\ln\Gamma(1+\alpha)-\ln\Gamma(\alpha)=\ln\left [ \alpha\Gamma (\alpha) \right ]-\ln\Gamma(\alpha)=\ln\alpha\Rightarrow I(\alpha)=\alpha\ln\alpha-\alpha+C$$

Dễ dàng tìm được $C=\frac{\ln2\pi}{2}$

 

Vậy $$\fbox{$I=\alpha\ln\alpha-\alpha+\frac{\ln2\pi}{2}$}$$