Chủ đề này có 3 trả lời

[AvatarStar]

Cho $\left ( O \right )$ và đường kính $AB$ cố định, đường kính $CD$ thay đổi. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left ( O \right )$ tại $B$ .   $AC,AD$ cắt $d$ tại $E$ và $F$. Gọi $P,Q$ là trung điểm của $BE,BF$. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta APQ$ luôn di chyển trên 1 đường cố định.u

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AvatarStar: 20-03-2014 - 11:55

[vkhoa]

Bổ đề:Cho tam giác ABC có H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đ tròn ngoại tiếp, trọng tâm.Cm G nằm giữa O, H và $\frac{HO}{HG} =\frac{3}{2}$

cm bổ đề:kẻ đường kính AD của (O), ta có BD$\perp$AB, mà CH$\perp$AB =>BD//CH

tương tự, CD//BH

=>BHCD là hình bình hành =>BC và HD cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đường =>OM là đ trung bình của DAH =>OM//AH và $\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}$

ta có$\frac{GM}{GA} =\frac{1}{2} =\frac{OM}{AH}$ 

mà $\widehat{GMO} =\widehat{GAH}$ 

=>$\triangle GMO\sim\triangle GAH$ =>$\frac{GH}{GO} =2$ và $\widehat{OGM} =\widehat{HGA}$ =>G nằm giữa H, O và $\frac{HO}{HG} =\frac{3}{2}$

 

cm:$\triangle AEF$ vuông tại A có đ cao AB =>$BE.BF =AB^2$

=>$BP.BQ =\frac{1}{4}$.BE.BF =$\frac{AB^2}{4}$

$\triangle ABF\sim\triangle EBA =>\frac{BF}{BA} =\frac{BA}{BE}$

<=>$\frac{2.BQ}{2.BO} =\frac{BA}{BE} =\frac{BQ}{BO} <=>\frac{BO}{BE} =\frac{BQ}{BA}$

gọi H trung điểm OB =>PH là đ trung bình OBE =>$\frac{BO}{BE} =\frac{2.BH}{2.BP} =\frac{BH}{BP}$

=>$\frac{BQ}{BA} =\frac{BH}{BP}<=>\frac{BQ}{BH} =\frac{BA}{BP}$ (1)

mà $\widehat{QBA} =\widehat{HBP} =90^o$

=>$\triangle QBA\sim\triangle HBP $ =>$\widehat{QAB} =\widehat{HPB}$ 

mà $\widehat{QAB} +\widehat{AQB} =90^o =>\widehat{HPQ} +\widehat{AQB}=90^o =>PH\perp AQ$ =>H là trực tâm $\triangle APQ$ 

(1)=>BH.BA =BP.BQ =$\frac{AB^2}{4}$ =>BH =$\frac{AB}{4}$ =>H là điểm cố định

kéo dài AG cắt d tại M, ta có $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$ (2)

trên đoạn AB lấy N sao cho $\frac{AN}{AB} =\frac{2}{3}$ (3) =>N là điểm cố định

(2, 3)=>NG //d =>G luôn di chuyển trên đ thẳng $d_1$ cố định qua N và //d

qua O kẻ đ thẳng $d_2$ //d cắt AB tại P =>$d_2//d_1$ =>$\frac{HP}{HN} =\frac{HO}{HG} =\frac{3}{2}$ (theo bổ đề)

=>$HP =\frac{3}{2}.HN$, mà H, N cố định =>HN không đổi =>HP không đổi =>P cố định =>$d_2$ cố định=>vậy O luôn di chuyển trên $d_2$ //d và qua P

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 20-03-2014 - 08:06

[fifa]

 

Bổ đề:Cho tam giác ABC có H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đ tròn ngoại tiếp, trọng tâm.Cm G nằm giữa O, H và $\frac{HO}{HG} =\frac{3}{2}$

cm bổ đề:kẻ đường kính AD của (O), ta có BD$\perp$AB, mà CH$\perp$AB =>BD//CH

tương tự, CD//BH

=>BHCD là hình bình hành =>BC và HD cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đường =>OM là đ trung bình của DAH =>OM//AH và $\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}$

ta có$\frac{GM}{GA} =\frac{1}{2} =\frac{OM}{AH}$ 

mà $\widehat{GMO} =\widehat{GAH}$ 

=>$\triangle GMO\sim\triangle GAH$ =>$\frac{GH}{GO} =2$ và $\widehat{OGM} =\widehat{HGA}$ =>G nằm giữa H, O và $\frac{HO}{HG} =\frac{3}{2}$

 

cm:$\triangle AEF$ vuông tại A có đ cao AB =>$BE.BF =AB^2$

=>$BP.BQ =\frac{1}{4}$.BE.BF =$\frac{AB^2}{4}$

$\triangle ABF\sim\triangle EBA =>\frac{BF}{BA} =\frac{BA}{BE}$

<=>$\frac{2.BQ}{2.BO} =\frac{BA}{BE} =\frac{BQ}{BO} <=>\frac{BO}{BE} =\frac{BQ}{BA}$

gọi H trung điểm OB =>PH là đ trung bình OBE =>$\frac{BO}{BE} =\frac{2.BH}{2.BP} =\frac{BH}{BP}$

=>$\frac{BQ}{BA} =\frac{BH}{BP}<=>\frac{BQ}{BH} =\frac{BA}{BP}$ (1)

mà $\widehat{QBA} =\widehat{HBP} =90^o$

=>$\triangle QBA\sim\triangle HBP $ =>$\widehat{QAB} =\widehat{HPB}$ 

mà $\widehat{QAB} +\widehat{AQB} =90^o =>\widehat{HPQ} +\widehat{AQB}=90^o =>PH\perp AQ$ =>H là trực tâm $\triangle APQ$ 

(1)=>BH.BA =BP.BQ =$\frac{AB^2}{4}$ =>BH =$\frac{AB}{4}$ =>H là điểm cố định

kéo dài AG cắt d tại M, ta có $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$ (2)

trên đoạn AB lấy N sao cho $\frac{AN}{AB} =\frac{2}{3}$ (3) =>N là điểm cố định

(2, 3)=>NG //d =>G luôn di chuyển trên đ thẳng $d_1$ cố định qua N và //d

qua O kẻ đ thẳng $d_2$ //d cắt AB tại P =>$d_2//d_1$ =>$\frac{HP}{HN} =\frac{HO}{HG} =\frac{3}{2}$ (theo bổ đề)

=>$HP =\frac{3}{2}.HN$, mà H, N cố định =>HN không đổi =>HP không đổi =>P cố định =>$d_2$ cố định=>vậy O luôn di chuyển trên $d_2$ //d và qua P

 

2 cái dòng đỏ là thế nào hả bạn: điểm G ở đâu? O thuộc đoạn AB sao lại kẻ // AB?

[vkhoa]

G là trọng tâm tam giác APQ

lộn, quên O lúc đầu là trung điểm AB, còn O phía dưới là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ (do không chú ý nên đặt trùng tên O),

sửa dòng chữ đỏ lại là

gọi O' là tâm đ tròn ngoại tiếp APQ

qua O' kẻ đường thẳng $d_2$//d cắt AB tại P =>$d_2 //d_1$ =>$\frac{HP}{HN} =\frac{HO'}{HG} =\frac{3}{2}$ ....

=>vậy O' luôn di chuyển trên $d_2$//d và qua P