Chủ đề này có 1 trả lời

[buitudong1998]

Cho ngũ giác ABCDE thỏa mãn: $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAE}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ACD}=\widehat{ADE}$. Đường thẳng BD cắt CE tại O. CMR: AO đi qua trung điểm của CD

[banhgaongonngon]

Cho ngũ giác ABCDE thỏa mãn: $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAE}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ACD}=\widehat{ADE}$. Đường thẳng BD cắt CE tại O. CMR: AO đi qua trung điểm của CD

 

Ta có bổ đề quen thuộc

"Cho điểm $M$ nằm trong tam giác $XYZ$. Các đường thẳng $XM,YM,ZM$ cắt các cạnh đối diện tại $P,Q,R$
Khi đó $P$ là trung điểm của $YZ$ khi và chỉ khi $QR \parallel YZ$"

Có thể chứng minh bổ đề trên bằng định lí $Ceva$

 

Trở lại bài toán

Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $CE$, $J$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Ta thấy $\Delta ABC \sim \Delta ADE\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$

Mặt khác $\angle BAD = \angle CAE$, do đó $\Delta ABD \sim \Delta ACE$

$AI, AJ$ lần lượt là phân giác của hai tam giác đồng dạng $ACE$ và $ABD$ nên $\frac{AI}{A J}=\frac{AE}{AD}$   $(1)$

Lại có $\Delta ADE \sim \Delta ACD\Rightarrow \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AC}$   $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta thấy $\frac{AI}{A J} = \frac{AD}{AC}$, do đó $I J \parallel CD$

Áp dụng bổ đề trên ta có $AP$ đi qua trung điểm của $CD$