Chủ đề này có 1 trả lời

[lahantaithe99]

Cho $a,c,b>0$ thoả mãn $abc=1$

Tìm Max của

$P= \sqrt{\frac{a^2+a}{a^2+a+1}}+\sqrt{\frac{b^2+b}{b^2+b+1}}+\sqrt{\frac{c^2+c}{c^2+c+1}}$

[Hoang Tung 126]

Cho $a,c,b>0$ thoả mãn $abc=1$

Tìm Max của

$P= \sqrt{\frac{a^2+a}{a^2+a+1}}+\sqrt{\frac{b^2+b}{b^2+b+1}}+\sqrt{\frac{c^2+c}{c^2+c+1}}$

Ta sẽ CM :$P\leq \sqrt{6}$

Theo Cauchy-Swtach có :$P^2=(\sum \sqrt{\frac{a^2+a}{a^2+a+1}})^2\leq 3(\sum \frac{a^2+a}{a^2+a+1})\leq 6< = > \sum \frac{a^2+a}{a^2+a+1}\leq 2< = > \sum \frac{1}{a^2+a+1}\geq 1$

Do $abc=1$ nên đặt $a=\frac{yz}{x^2},b=\frac{xz}{y^2},c=\frac{xy}{z^2}$

$= > \sum \frac{1}{a^2+a+1}=\sum \frac{1}{(\frac{yz}{x^2})^2+\frac{yz}{x^2}+1}=\sum \frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{\sum x^4+\sum x^2y^2+xyz(\sum x)}\geq 1< = > (\sum x^2)^2\geq \sum x^4+\sum x^2y^2+xyz(\sum x)< = > \sum x^2y^2\geq xyz(\sum x)< = > \frac{1}{2}\sum (xy-xz)^2\geq 0$(Luôn đúng)

Do đó ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $x=y=z< = > a=b=c=1$