tìm hàm số f Q+ ------> R+
f(x+1) = f(x)+1 và $f(x^{3}) = f^{3}(x)$ mọi x thuộc Q+
tìm hàm số f Q+ ------> R+
f(x+1) = f(x)+1 và $f(x^{3}) = f^{3}(x)$ mọi x thuộc Q+
tìm hàm số f Q+ ------> R+
f(x+1) = f(x)+1 và $f(x^{3}) = f^{3}(x)$ mọi x thuộc Q+
Từ $(1)$ bằng quy nạp ta có $f(x+n)=f(x)+n,\;\forall n\in \mathbb{N}$
Ta có :
$f((x+n)^3)=f^3(x+n)=(f(x)+n)^3=f^3(x)+3f^2(x)n+3f(x)n^2+n^3,\;\forall x\in \mathbb{Q}^+,n\in \mathbb{N}$
$f((x+n)^3)=f(x^3+3x^2n+3xn^2+n^3)=f(x^3+3x^2n+3xn^2)+n^3,\;\forall x\in \mathbb{Q}^+,n\in \mathbb{N}$
Từ hai điều trên ta suy ra :
$f(x^3+3x^2n+3xn^2)=f^3(x)+3f^2(x)n+3f(x)n^2$
Thay $x=\dfrac{p}{q}\in \mathbb{Q},n=q^{2}\in \mathbb{N}$, ta được :
$f\left ( \left ( \dfrac{p}{q} \right )^3+3.\left ( \frac{p}{q} \right )^2.q^2+3.\dfrac{p}{q}.q^4 \right )=f^{3}\left ( \dfrac{p}{q} \right )+3f^{2}\left ( \dfrac{p}{q} \right ).q^2+3f\left ( \dfrac{p}{q} \right )q^4\Leftrightarrow p^2+pq^3=f^{2}\left ( \dfrac{p}{q} \right )q^2+f\left ( \dfrac{p}{q} \right )q^4$
Đây là phương trình bậc hai ẩn $f\left ( \dfrac{p}{q} \right )$ có :
$\Delta =q^8+4q^2(p^2+pq^3)=q^2(q^3+2p)^2$
Nghiệm của nó là :
$f\left ( \dfrac{p}{q} \right )=\dfrac{-q^4\pm q(q^3+2p)}{2q^2}=\dfrac{-q^3\pm (p^3+2p)}{2q}$
Nếu $f\left ( \dfrac{p}{q} \right )=\dfrac{-q^3-(q^3+2p)}{2q}=\dfrac{-q^3-p}{q}\notin \mathbb{Q}^{+}$
Do đó $f\left ( \dfrac{p}{q} \right )=\dfrac{-q^3+(p^3+2p)}{2q}=\dfrac{p}{q}$
Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=x,\;\forall x\in \mathbb{Q}^{+}$
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh