Cho $a,b,c>0;abc<1$ CMR:$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}<1$
Cho $a,b,c>0;abc<1$ CMR:$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}<1$
Bắt đầu bởi yeutoan2604, 25-03-2014 - 21:40
#1
Đã gửi 25-03-2014 - 21:40
yeutoan2604
-
- Thành viên
-
- 281 Bài viết
Thượng sĩ
- bestmather, hoangmanhquan, firetiger05 và 1 người khác yêu thích
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
#2
Đã gửi 25-03-2014 - 22:18
Johan Liebert
-
- Thành viên
-
- 75 Bài viết
Hạ sĩ
Bài này phải là dấu ">" nhé. Thay một trường hợp vào là thấy mà. Bạn lahantaithe99 sai dấu 1 chỗ
Xét số $c'$ sao cho $abc'=1$
Mà $abc<1 \rightarrow c<c'$
Dễ chứng minh
$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$
Vì $c<c'$
$\rightarrow \dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}>$
$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$
Vậy dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 25-03-2014 - 22:20
- thinhrost1, firetiger05 và lahantaithe99 thích
#3
Đã gửi 26-03-2014 - 19:14
thinhrost1
-
- Thành viên
-
- 316 Bài viết
Sĩ quan
Bài này phải là dấu ">" nhé. Thay một trường hợp vào là thấy mà. Bạn lahantaithe99 sai dấu 1 chỗ
Xét số $c'$ sao cho $abc'=1$
Mà $abc<1 \rightarrow c<c'$
Dễ chứng minh
$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$
Vì $c<c'$
$\rightarrow \dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}>$
$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$
Vậy dpcm
Cho hỏi cách chứng minh: $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$
#4
Đã gửi 27-03-2014 - 13:14
angleofdarkness
-
- Thành viên
-
- 246 Bài viết
Thượng sĩ
Cho $a,b,c>0;abc<1$ CMR:$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}<1$
Bài này phải là dấu ">" nhé. Thay một trường hợp vào là thấy mà. Bạn lahantaithe99 sai dấu 1 chỗ
Xét số $c'$ sao cho $abc'=1$
Mà $abc<1 \rightarrow c<c'$
Dễ chứng minh
$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$
Vì $c<c'$
$\rightarrow \dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}>$
$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$
Vậy dpcm
Cách của mình ngắn hơn, dễ hiểu hơn, bạn tham khảo:
$\dfrac{1}{1+a+ab}=\dfrac{c}{c+ca+abc}>\dfrac{c}{c+ca+1} \\ \dfrac{1}{1+b+bc}=\dfrac{ca}{ca+abc+abc^2}>\dfrac{ca}{ca+1+c}$
(Do abc < 1)
Như vậy thì $\sum \dfrac{1}{1+a+ab}>\dfrac{c}{c+ca+1}+\dfrac{ca}{ca+1+c}+\dfrac{1}{1+c+ca}=1$
đpcm.
- DarkBlood và thinhrost1 thích
#5
Đã gửi 27-03-2014 - 13:16
angleofdarkness
-
- Thành viên
-
- 246 Bài viết
Thượng sĩ
Cho hỏi cách chứng minh: $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$
Ta biến đổi:
$\dfrac{1}{1+a+ab}=\dfrac{c'}{c'+c'a+abc'}=\dfrac{c'}{c'+c'a+1} \\ \dfrac{1}{1+b+bc'}=\dfrac{c'a}{c'a+abc'+abc'^2}=\dfrac{c'a}{c'a+1+c'}$
(Do abc' = 1)
Như vậy thì $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}>\dfrac{c'}{c'+c'a+1}+\dfrac{c'a}{c'a+1+c'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$
đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 27-03-2014 - 16:12
- thinhrost1 yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
