Chủ đề này có 3 trả lời

[kinggriffin1]

Tìm hai số x,y nguyên dương sao cho x + 1 chia hết cho y và y + 1 chia hết cho x

[buitudong1998]

Tìm hai số x,y nguyên dương sao cho x + 1 chia hết cho y và y + 1 chia hết cho x

Đặt $x+1=py;y+1=qx\rightarrow xy+x+y+1=pqxy\rightarrow 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=pq\leqslant 4$

Đến đây bạn tự giải tiếp được

[PT42]

Vì vai trò của x, y bình đẳng nên có thể giả sử $x \leq y$.

- Nếu x = 1 thì $x + 1 = 2 \vdots y$ $\Rightarrow y = 1$ hoặc 2 $\Rightarrow (x, y) = (1, 1), (1, 2)$.

 

- Nếu $x \geq 2$ thì $2 \leq x \leq y$

Có $\left\{\begin{matrix} x + 1 \vdots y\\ y + 1 \vdots x \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x + 1)(y + 1) = (xy + x + y + 1) \vdots xy$ $\Rightarrow (x + y + 1) \vdots xy$

$\Rightarrow \frac{x + y + 1}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy}$ là số nguyên dương.

Mà $2 \leq x \leq y$ nên $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Từ đó suy ra $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy} = 1$ (1)

$\Rightarrow 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{5}{2x}$ $\Rightarrow 2x \leq 5$ $\Rightarrow$ x = 2

Thay vào (1) ta có $\frac{1}{2} + \frac{1}{y} + \frac{1}{2y} = 1$ $\Rightarrow y = 3$

 

Vậy các cặp số (x, y) phải tìm là (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2).

[khanh2711999]

x+1 $\vdots$ y => x+1 $\geqslant$ y                                        (1)

y+1 $\vdots$ x => y+1 $\geqslant$ x => y$\geqslant$ x-1        (2)

(1)(2) => x+1 $\geqslant$ y $\geqslant$ x-1

 

+) xét y= x+1 => x+2 $\vdots$ x => 2$\vdots$ x

=> x =1 thì y = 2

hoặc x=2 thì y=3

 

+) y=x 

=> x+1 $\vdots$ x => x=1 => y=1

 

+) y= x-1

=> x+1 $\vdots$ x-1 => 2$\vdots$ x-1 

=> x=2 thì y=1

hoặc x=3 thi y=2