$\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq \frac{9}{4}$
Cho a,b,c là các số thực khác nhau thoả mãn:$0\leq a,b,c\leq 2$ Chứng minh rằng:
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi Dinh Xuan Hung, 28-03-2014 - 17:16
#1
Đã gửi 28-03-2014 - 17:16
Dinh Xuan Hung
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1396 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
#2
Đã gửi 28-03-2014 - 17:36
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
$\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq \frac{9}{4}$
Rõ ràng điều kiện phải có $a,b,c$ khác nhau
Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geqslant \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2}{2}\geqslant \frac{(\frac{4}{x+y})^2}{2}=\frac{8}{(x+y)^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geqslant \frac{8}{(a-c)^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geqslant \frac{9}{(a-c)^2}\geqslant \frac{9}{4}$
Luôn đúng do $0 \leqslant a,b,c \leqslant 2$
Vậy ta có đpcm, đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)=(0,1,2)$
- Dinh Xuan Hung và bach7a5018 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
