1 reply to this topic

[Silent Night]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$; $ab+bc+ca=9$; $a<b<c$. Chứng minh rằng: $0<a<1<b<3<c<4$

[Silent Night]

Áp dụng AM - GM :

$c(6-c)=c(a+b)=ac+bc\geq 9-\frac{(a+b)^{2}}{2}=\frac{36-(6-c)^{2}}{2}$

$\Rightarrow c\leq 4$

Dấu '' = '' ko xảy ra do $a<b \Rightarrow c<4$

Ta có $(b-a)(b-c)<0$

          $\Rightarrow b^2+9<2b(a+c)=2b(6-b)$

hay    $(b-1)(b-3)<0$

hay    $1<b<3$

Cmtt có: $(a-1)(a-3)>0$ và $(c-1)(c-3)>0$

Do $c>b>1$ nên $c>3$

Do $a<b<3$ nên $a<1$

Vậy $0<a<1<b<3<c<4$

 

 

 

Đây là lời giải của mình mong có lời giải khác hay hơn. 

Edited by Silent Night, 01-04-2014 - 22:00.