6 replies to this topic

[buitudong1998]

Tìm hàm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn: $f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y))$

[shinichigl]

Tìm hàm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn: $f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y))$ (*)

Trong (*) thay $x=y$ ta được: $f(f(0))=2f((0)) \Rightarrow f(f(0))=0$

Trong (*) thay $y=0$ ta được: $f(x+f(x))=2x,\forall x\in \mathbb{Q}$ (1) $\Rightarrow$ $f$ toàn ánh

Do $f$ toàn ánh nên tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$

Thay $x=a$ vào (1) ta được: $f(a)=2a \Rightarrow f(0)=0$

Trong (*) thay $x=0$ ta được: $f(2y)=2f(f(y)), \forall y \in \mathbb{Q}$ (2)

Trong (1) cho $x=1$ ta được $f(1+f(1))=2$

Do f toàn ánh nên tồn tại $c$ sao cho $f\left ( c \right )=1+f(1)$

Từ (*) và (2) ta có: $f(x+f(x)+2y)=2x+f(2y), \forall x,y \in \mathbb{Q}$

$\Rightarrow f(x+f(x)+y)=2x+f(y), \forall x,y \in \mathbb{Q}$ (3)

Trong (3) thay $x=1$ và $y=-1-f(1)$ ta được: $f(-1-f(1))=-2$

Trong (3) thay $x=c$ và $y=-1-f(1)$ ta được: $f\left ( c \right )=2c-2 \Rightarrow f(1)+3=2c$

Trong (2) thay $y=c$ ta được: $f(2c)=4$

Trong (*) thay $x=y=1$ ta được: $f(3+f(1))=2+2f(f(1)) \Rightarrow f(f(1))=1$

Trong (1) thay $x=f(1)$ ta được: $f(f(1)+1)=2f(1) \Rightarrow f(1)=1$

Trong (3) thay $x=1$ ta được: $f(2+y)=2+f(y),\forall y\in \mathbb{Q}$ (4)

Từ (4) bằng quy nạp ta chứng minh được: $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Z}$

Từ (3) bằng quy nạp ta chứng minh được: $f\left ( n\left ( x+f(x) \right ) \right )=nf\left ( x+f(x) \right )=2nx,\forall n\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{Q}$ (5)

Trong (5) thay $x=\frac{1}{2n}$ ta được: $f\left ( n\left ( \frac{1}{2n}+f\left ( \frac{1}{2n} \right ) \right ) \right )=1$

Đặt $n\left ( \frac{1}{2n}+f\left ( \frac{1}{2n} \right ) \right )=b$

Trong (3) thay $x=b$ và $y=-f(b)$ ta được: $f\left ( b+f(b)-f(b) \right )=2b+f(-f(b))\Rightarrow b=1$

$\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2n} \right )=\frac{1}{2n},\forall n\in \mathbb{Z}^{*}$

Trong (5) thay $x$ bởi $\frac{1}{2m}$ ta được: $f\left ( n\left ( \frac{1}{2m}+f\left ( \frac{1}{2m} \right ) \right ) \right )=\frac{n}{m},\forall n\in \mathbb{Z},m\in \mathbb{Z}^{*}$

$\Rightarrow f\left ( \frac{n}{m} \right )=\frac{n}{m},\forall n\in \mathbb{Z},m\in \mathbb{Z}^{*}$

$\Rightarrow f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Q}$

Edited by shinichigl, 30-11-2014 - 10:32.

[Zaraki]

Tìm hàm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:

$$\begin{equation} \label{pt1} f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) \end{equation}$$

Lời giải. Thay $x=y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( f(0) \right)=2f \left( f(0) \right)$ nên $f \left( f(0) \right)=0$.

Thay $y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( x+f(x) \right)=2x$, từ đây suy ra $f$ toàn ánh.

Với $f$ toàn ánh thì tồn tại $b$ thoả mãn $f(b)=0$. Thay $x=b$ ta được $f(b+f(b))=2b$ suy ra $b=0$. Vậy $f(0)=0$.

Thay $x=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f(2y)=2f \left( f(y) \right)$.

Từ đây ta suy ra $(\ref{pt1}$) tương đương với $$f \left( x+f(x)+2y \right)= f \left( x+f(x) \right)+ f(2y), \; \forall x,y \in \mathbb{Q}$$

Do đó $f(x)=ax$. Thay vào ta tìm được $a=1$.

Vậy $f(x)=x, \; \forall x \in \mathbb{Q}$.

Edited by Zaraki, 08-07-2015 - 09:20.

[Idie9xx]

Lời giải. Thay $x=y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( f(0) \right)=2f \left( f(0) \right)$ nên $f \left( f(0) \right)=0$.

Thay $y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( x+f(x) \right)=2x$, từ đây suy ra $f$ toàn ánh.

Thay $x=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f(2y)=2f \left( f(y) \right)$.

Từ đây ta suy ra $(\ref{pt1}$) tương đương với $$f \left( x+f(x)+2y \right)= f \left( x+f(x) \right)+ f(2y), \; \forall x,y \in \mathbb{Q}$$

Do đó $f(x)=ax$. Thay vào ta tìm được $a=1$.

Vậy $f(x)=x, \; \forall x \in \mathbb{Q}$.

Nếu chứng minh được $x+f(x)$ toàn ánh thì mới được dùng hàm cosi nhé

Vừa mới nghĩ ra hướng giải ở topic kia reset lại thì bị ẩn đi mất 

[Zaraki]

Nếu chứng minh được $x+f(x)$ toàn ánh thì mới được dùng hàm cosi nhé

Vừa mới nghĩ ra hướng giải ở topic kia reset lại thì bị ẩn đi mất 

Chứng minh toàn ánh: $\forall a \in \mathbb{Q}$, chọn $x= \frac a2$ thì $f(x+f(x))=a$. Do đó $f$ toàn ánh.

 

Spoiler

Như thế có đúng không anh ?

[Idie9xx]

Chứng minh toàn ánh: $\forall a \in \mathbb{Q}$, chọn $x= \frac a2$ thì $f(x+f(x))=a$. Do đó $f$ toàn ánh.

 

Spoiler

Như thế có đúng không anh ?

Như vậy thì chỉ có $f$ toàn ánh chứ nếu đặt $g(x)=x+f(x)$ thì $g(x)$ không toàn ánh. Toàn ánh với hàm $f$ ở đây là với mỗi số $y$ ( thuộc tập giá trị của nó) thì luôn tồn tại một số $x$ (thuộc tập xác định) thỏa $f(x)=y$. Ở đây với mỗi số $a$ thì tồn tại $x+f(x)$ thỏa $f(x+f(x))=a$ thì $f$ toàn ánh chứ không phải cái $x+f(x)$. Mọi người hay nhầm lẫn mấy cái này lắm 

[Zaraki]

Tìm hàm $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ thoả mãn 

$$ f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y))$$

Lời giải. 

Thay $x=y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( f(0) \right)=2f \left( f(0) \right)$ nên $f \left( f(0) \right)=0$.

Thay $y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( x+f(x) \right)=2x \qquad (2)$, từ đây suy ra $f$ toàn ánh.

Với $f$ toàn ánh thì tồn tại $b$ thoả mãn $f(b)=0$. Thay $x=b$ ta được $f(b+f(b))=2b$ suy ra $b=0$. Vậy $f(0)=0$. Thay $x=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $ f(2y)=2f \left( f(y) \right) \qquad (3)$.

Thay $y$ bởi $x$ vào $(\ref{pt1})$ và áp dụng $(2)$ ta được $$f(x+f(x)+f(x+f(x)))=2x+2f(f(x)).$$

Từ $(2)$ ta cũng có $2(x+f(x))= f(x+f(x)+f(x+f(x)))$ nên ta suy ra $2(x+f(x))=2x+2f(f(x))$ hay $f(x)=f(f(x)) \qquad (4)$.

 

Từ $(3)$ và $(4)$ ta suy ra $f(2y)=2f(y) \qquad (5)$.

Như vậy $(\ref{pt1})$ tương đương với $$f(x+f(x)+2y)=2x+2f(y).$$

Thay $x$ bởi $f(y)$ và áp dụng $(4)$ ta được $f(2y+2f(y))=4f(y).$

Mặt khác, áp dụng $(5)$ và $(2)$ ta có $f(2y+2f(y))=2f(y+f(y))=4y$ nên ta suy ra $f(y)=y$.

Vậy $f(x)=x \; \forall x \in \mathbb{R}$.

Edited by Zaraki, 08-07-2015 - 17:17.