Chủ đề này có 7 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm GTNN của $P=\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}$

 

[phuocdinh1999]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm GTNN của $P=\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}$

$\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2 }\geq a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}$

Lập 3 BĐT tương tự rồi cộng lại: $P\geq \frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[bach7a5018]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm GTNN của $P=\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}$

Cách khác này, mọi người tham khảo nhé, nếu hay thì like cho mình:

Ta chứng minh đc: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 3$

${a^3} + {b^3} + {c^3} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}$. Từ đó nên $3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {a^3} + {b^3} + {c^3} + a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + b\left( {{c^2} + {a^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3$

Do vậy $a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + b\left( {{c^2} + {a^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$

Theo BĐT Cauchy-Swcharz ta có:

$P = \frac{{{a^4}}}{{a\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{b^4}}}{{b\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}} + \frac{{{c^4}}}{{c\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + b\left( {{c^2} + {a^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \ge \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c = 1$

[bluered]

$\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2 }\geq a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}$

Lập 3 BĐT tương tự rồi cộng lại: $P\geq \frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Co si ngược dấu.

[phuocdinh1999]

 

Cách khác này, mọi người tham khảo nhé, nếu hay thì like cho mình:

Ta chứng minh đc: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 3$

${a^3} + {b^3} + {c^3} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}$. Từ đó nên $3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {a^3} + {b^3} + {c^3} + a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + b\left( {{c^2} + {a^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3$

Do vậy $a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + b\left( {{c^2} + {a^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$

Theo BĐT Cauchy-Swcharz ta có:

(*) $P = \frac{{{a^4}}}{{a\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{b^4}}}{{b\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}} + \frac{{{c^4}}}{{c\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} $ (*) $ \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + b\left( {{c^2} + {a^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \ge \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c = 1$

 

Biểu thức  giữa 2 dấu (*) đâu có bằng $P$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 31-03-2014 - 11:41

[bach7a5018]

Biểu thức  giữa 2 dấu (*) đâu có bằng $P$

sao ko bang dc ban, ban thu rut gon VP xem co bang P ko

[phuocdinh1999]

sao ko bang dc ban, ban thu rut gon VP xem co bang P ko

Theo bạn thì chẳng lẽ

$P=\frac{a^4}{a(b^2+c^2)}+\frac{b^4}{b(a^2+c^2)}+\frac{c^4}{c(a^2+b^2)}=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 31-03-2014 - 20:11

[bluered]

Theo bạn thì chẳng lẽ

$P=\frac{a^4}{a(b^2+c^2)}+\frac{b^4}{b(a^2+c^2)}+\frac{c^4}{c(a^2+b^2)}=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$ 

chắc có sự nhầm lẫn khi đọc đề bài rồi! Vì có bài này mà: Tìm min của P với P = $\frac{a^3}{c^2+b^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{b^2+a^2}$ với a, b, c dương thỏa a+b+c= 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 04-04-2014 - 22:29