Chủ đề này có 2 trả lời

[xxthieuongxx]

Cho a , b , c là 3 số thực dương thoả mãn a + b + c =3

 

Chứng minh : ( a + 1 )/( b² + 1 ) + ( b + 1 )/( c² + 1 ) + ( c+1 )/( a² + 1 )  >= 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxthieuongxx: 03-04-2014 - 22:09

[hoctrocuanewton]

áp dụng bđt cô si ta có

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}= \frac{a}{b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}= (a-\frac{ab^{2}}{b^{2}+1})+(1-\frac{b^{2}}{b^{2}+1})\geqslant (a-\frac{ab}{2})+(1-\frac{b}{2})= a+1-\frac{ab}{2}-\frac{b}{2}$

cmtt ta có

 

$\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geqslant \sum \frac{a}{2}+3-\sum \frac{ab}{2}\geqslant \sum \frac{a}{2}+3- \frac{(a+b+c)^{2}}{6}=\frac{3}{2}+3-\frac{3}{2}= 3$

 

vậy ta được đpcm

[Phuong Thu Quoc]

Cách khác theo Cauchy-Schwarz

$\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( a+1 \right )\left ( b^{2} +1\right )}$

Nhưng vì $a+b+c=3$ nên khi khai triển mẫu thức rồi rút gọn ta được $\sum \left ( a+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )= \frac{1}{3}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$

Do đó $\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq 3$