Chủ đề này có 5 trả lời

[phuocdinh1999]

Cho $a,b,c\in\mathbb{R}$ thoả mãn $a+b+c=0$

Chứng minh $ab+2bc+3ca\leq 0$

[Math Hero]

Cho $a,b,c\in\mathbb{R}$ thoả mãn $a+b+c=0$

Chứng minh $ab+2bc+3ca\leq 0$

Ta có $2(a+b+c)^{2}-2(ab+2bc+3ca)=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+4ab+4ac+4bc-2ab-4bc-6ca$

        $=2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2ab-2ca$

        $=a^{2}+b^{2}+2ab+a^{2}+c^{2}-2ca+b^{2}+c^{2}$

        $=(a+b)^{2}+(a-c)^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 0$

        $\Rightarrow 2(a+b+c)^{2}-2(ab+2bc+3ca)\geq 0$

        $\Rightarrow 2(ab+2bc+3ca)\leq 2(a+b+c)^{2}$

        $\Rightarrow 2(ab+2bc+3ca)\leq 0$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=0$

[040812]

tại sao lại từ 2(ab+2bc+3ca)≤2(a+b+c)^2 ⇒2(ab+2bc+3ca)≤0 trong khi 2(a+b+c)^2≥0

 

)

2

)

2

[Yagami Raito]

Vì $a+b+c=0$ đề cho vậy !!!

[Math Hero]

tại sao lại từ 2(ab+2bc+3ca)≤2(a+b+c)^2 ⇒2(ab+2bc+3ca)≤0 trong khi 2(a+b+c)^2≥0

 

vì a+b+c=0

[trandaiduongbg]

Cho $a,b,c\in\mathbb{R}$ thoả mãn $a+b+c=0$

Chứng minh $ab+2bc+3ca\leq 0$

BDT$\Leftrightarrow$ $a(b+c)+2c(a+b) \leq 0$ $\Leftrightarrow$ $-a^2-2c^2 \leq 0$

Dau "=" xay ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=0