Chủ đề này có 2 trả lời

[dothithuhuyen]

CMR :       $23^{12}-23^{10}-23^8+23^4+23^2-1$ chia hết cho 105

 

Chú ý: Đặt tiêu đề có chứa đề bài, Gõ tiếng Việt có dấu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 06-04-2014 - 12:45

[phatthemkem]

CMR :       $23^{12}-23^{10}-23^8+23^4+23^2-1$ chia hết cho 105

 

Chú ý: Đặt tiêu đề có chứa đề bài, Gõ tiếng Việt có dấu.

Đặt $a=23$

Dễ thấy $a^2-4$ chia hết cho $105$

Như vậy ta cần đưa biểu thức đã cho về dạng tích $(a^2-4)B$

Ta có: $a^{12}-a^{10}-a^8+a^4+a^2-1=(a^{12}-4a^{10})+(3a^{10}-12a^8)+(11a^8-44a^6)+(44a^6-176a^4)+(177a^4-708a^2)+(709a^2-2836)+27.105 \\ =(a^2-4)(a^{10}+3a^8+11a^6+44a^4+177a^2+709)+27.105\vdots 105$

Vậy ta có đpcm

[phatthemkem]

CMR :       $23^{12}-23^{10}-23^8+23^4+23^2-1$ chia hết cho 105

 

Chú ý: Đặt tiêu đề có chứa đề bài, Gõ tiếng Việt có dấu.

Cách $2$: Phương pháp đồng dư

Ta có: $23^2\equiv 4 (mod105)\\ 23^4\equiv 16(mod105)\\ 23^8\equiv 16(mod105)\\ 23^{10}\equiv 79(mod105)\\ 23^{12}\equiv 1(mod105)\\$

Như vậy:

$23^{12}-23^{10}-23^8+23^4+23^2-1\equiv 1-79-46+16+4-1=-105\equiv 0(mod105)$

Hay $23^{12}-23^{10}-23^8+23^4+23^2-1$ chia hết cho $105$