Chủ đề này có 2 trả lời

[hi lucky]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. CMR:

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$

[lahantaithe99]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. CMR:

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$

 

Có $\sum \frac{x}{x+yz}=\sum \frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}$

 

$=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=\frac{2(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}$

 

Ta có BĐT sau 

 

$(x+y+z)(xy+yz+xz)\leqslant \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$

 

$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)(x+y+z)\leqslant \frac{9}{4}(x+y)(y+z)(z+x)$

 

Do đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 09-04-2014 - 18:13

[hoctrocuanewton]

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. CMR:

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$

C2:

$\sum \frac{x}{x+yz}= \sum (1-\frac{yz}{x+yz})= 3-\sum \frac{yz}{x+yz}$

vậy ta cần chứng minh

$\sum \frac{yz}{yz+x}\geqslant \frac{3}{4}$

áp dụng BĐT schwars ta có:

$\sum \frac{yz}{x+yz}= \sum \frac{(yz)^{2}}{(yz)^{2}+xyz}\geqslant \frac{(\sum yz)^{2}}{\sum (yz)^{2}+3xyz}= \frac{(\sum yz)^{2}}{\sum (yz)^{2}+3xyz(x+y+z)}= \frac{(\sum yz)^{2}}{(\sum yz)^{2}+xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{(\sum yz)^{2}}{(\sum yz)^{2}+\frac{1}{3}(\sum yz)^{2}}= \frac{3}{4}$

vậy ta được đpcm