Với mỗi n$\geq$ 2 và thuộc N đặt $A_{n}=2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}+1$
CMR An là hợp số và có ít nhất n ước số phân biệt.
Với mỗi n$\geq$ 2 và thuộc N đặt $A_{n}=2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}+1$
CMR An là hợp số và có ít nhất n ước số phân biệt.
Với mỗi n$\geq$ 2 và thuộc N đặt $A_{n}=2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}+1$
CMR An là hợp số và có ít nhất n ước số phân biệt.
Có thể chứng minh là $A_n$ có $n$ ước số nguyên tố phân biệt
Ta sẽ chứng minh bài toán bằng phép quy nạp.
$\bullet$ Với $n=1$ thì $A_n=7$ hiển nhên thỏa mãn đề.
$\bullet$ Giả sử khẳng định trên đúng đến $n$, ta sẽ chứng minh nó đúng với $n+1$. Thật vậy do :
$$A_{n+1}=2^{2^{n+1}}+2^{2^n}+1=(2^{2^n}+1)^2-2^{2^{n}}=(2^{2^n}+2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^n}-2^{2^{n-1}}+1)\\=A_n.(A_n+2.2^{2^n})$$
Nhưng do $UCLN(A_n;A_n+2.2^{2^n})=UCLN(A_n;2.2^{2^{n}})=1$ (Do $A_n$ là số lẻ, $;2.2^{2^{n}}$ chỉ có ước nguyên tố là $2$)
Suy ra $A_n+2.2^{2^n}$ có ít nhất 1ước số nguyên tố khác với tập ước số nguyên tố của $A_n$, hay $A_{n+1}$ có $n+1$ ước nguyên tố phân biệt $\square$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh