Chủ đề này có 3 trả lời

[thuan192]

Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ khả vi trên khoảng (-1;1) sao cho:

$f\left ( x \right )+f\left ( y \right )=f\left ( \frac{x+y}{1+xy} \right )$

[namcpnh]

Chọn $x$ là ẩn rồi đạo hàm biến $x$.

 

Chọn $y$ là ẩn rồi đạo hàm biến $y$.

 

Cho 2 cái bằng nhau. Xem bài giải cụ thể tại đây ( bài viết của anh ) .

[Nxb]

Đề nghị mở rộng bài toán thành tìm hàm f liên tục trên khoảng (-1, 1) thỏa mãn điều kiện như trên. 

[Nxb]

Sau khi xem xét lại bài toán có thể theo hướng này: Hàm $f$ xác định trên khoảng $(-1, 1)$ và tồn tại các giới hạn hoặc $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ hoặc $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$. Ta tính được $f(0)=0$ và từ đó được $f(x)=-f(-x)$. Trong phương trình trên thay $y=x$ ta được: $2f(x)=f(\frac{2x}{1+x^2})$. Với $d>0$ bất kì ta xây dựng một dãy ${x_n}$ như sau: 

$$x_1=d, x_{n+1}=\frac{2x_n}{x_n^2+1}$$

Đây là dạng dễ của dãy số: $x_{n+1}=f(x_n)$, ta tính được $\lim x_n=1$. Mặt khác $f(x_n)=\frac{1}{2}f(x_{n+1})$ nên $f(d)=f(x_1)=\frac{1}{2^n}f(x_{n+1})$. Lấy giới hạn hai vế, ta được $f(d)=0$. Hàm lẻ nên nếu $d$ nhỏ hơn 0 thì ta cũng có $f(d)=0$. Kết luận hàm $f=0$.

Bình luận một chút: Bài theo hướng này đã làm cho hàm bớt thú vị hơn vì khi đó là phải cho hàm này có giới hạn tại -1 và 1. Tuy nhiên theo một cách nào đó thì điều kiện này lại mạnh hơn vì hàm khi đó thậm chí còn không cần liên tục (chứ đừng nói đến việc có đạo hàm hay không). Vấn đề là như thế thì sẽ mất vui vì đó thực chất không phải mở rộng của bài toán ban đầu. Bài toán mở rộng trên còn đang để ngỏ. Tuy vậy có một điều quan trọng là phương trình hàm đặt ra vì có một hàm xuất hiện trong một bài toán nào đó mà ta không xác định được rõ ràng nên dựa vào phương trình hàm để nghiên cứu hàm đó. Cứ như vậy thì cho thêm điều kiện để giải là "trò bịp" vì ta chẳng giải gì hết. Hàm vẫn ở đó ta chẳng qua là được công thức tường minh mà thôi. Bài toán đặt ra phải là bài toán mà không có điều kiện gì hết chỉ có mỗi phương trình.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 18-04-2014 - 15:49