Chủ đề này có 1 trả lời

[mnguyen99]

Cho x,y,m là các số thực thỏa mãn hệ pt:$\left\{\begin{matrix}2x-my=m \\mx+y=\frac{3m^{2}+4}{m^{2}+4} \end{matrix}\right.$

a.CM:$x^{2}+y^{2}=1$

b.Tìm min và max của biểu thức P=$x^{3}+y^{3}$

[shinichigl]

a..Xét $m=0$, hệ phương trình tương đương

$\left\{\begin{matrix} 2x=0 & \\ y=1& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1& \end{matrix}\right.$

Thay vào ta thấy thoã $x^2+y^2=1$

Xét $m\neq 0$,

$mx+y=\frac{3m^2+4}{m^2+4}\Leftrightarrow m^2+my=\frac{3m^3+4m}{m^2+4}$    (1)

Lấy phương trình (1) cộng với phương trình thứ 2 của hệ phương trình ta có

$(2+m^2)x=m+\frac{3m^3+4m}{m^2+4}\Leftrightarrow(2+m^2)x=\frac{4m^3+8m}{m^2+4}\Leftrightarrow(2+m^2)x=\frac{4m^3+8m}{m^2+4}\Leftrightarrow (2+m^2)x=\frac{4m(m^2+2)}{m^2+4}\Leftrightarrow x=\frac{4m}{m^2+4}$

Tương tự, ta có $y=\frac{4-m^2}{m^2+4}$

Suy ra $x^2+y^2=1$

b.Ta có $x^2+y^2=1\Leftrightarrow (x+y)^2=1+2xy\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2-1}{2}=xy$

Từ đó

$P=x^3+y^3=(x+y)\left [ (x+y)^2 -3xy\right ]=(x+y)\left [ (x+y)^2 -3 .\frac{(x+y)^2-1}{2}\right ]=(x+y)\left [ -\frac{(x+y)^2}{2} +\frac{3}{2}\right ]=-\frac{1}{2}(x+y)^3+\frac{3}{2}(x+y)$

Đặt $x+y=t (-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2})$

Ta có $P=-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t$

Xét $f(t)=-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t$

Ta có $f^{'}(t)=-\frac{3}{2}\left ( t^2-1 \right )=0\Leftrightarrow x=\pm 1$

Suy ra $f(t)$ đồng biến trên $\left [ -1;1 \right ]$, nghịch biến trên $(-\infty;-1 )\cup (1;+\infty)$

Mà $-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$

Nên $Min P=-1$ tại $(x;y)=(0;-1)$

       $Max P=1$ tại $(x;y)=(0;1)$

 

P/s: câu b mình dùng kiến thức lớp 10, 11, nếu không được dùng thì bạn nghĩ cách khác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 16-04-2014 - 22:00