Cho $a,m,n \in \mathbb{N}^{*}$ và $p \in P, p<a-1.$ Chứng minh $x^m(x-a)^n+p$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}_{[x]}.$
Đa thức $x^m(x-a)^n+p$ bất khả quy
#1
Posted 17-04-2014 - 08:43
#2
Posted 17-04-2014 - 13:34
#3
Posted 18-04-2014 - 18:28
#4
Posted 19-04-2014 - 15:45
Cho $a,m,n \in \mathbb{N}^{*}$ và $p \in P, p<a-1.$ Chứng minh $x^m(x-a)^n+p$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}_{[x]}.$
Hì hì bài này là bài thầy Vuợng cho hôm đi trường Xuân đúng không ạ Hôm đó em nghĩ cả buổi chiều mới ra, về nhà ngẫm lại k hiểu sao mình ngu vậy T_T
Dễ thấy 1 đa thức khả quy trong $\mathbb{Z}[x]$ tương đương với việc nó khả quy trong $\mathbb{Q}[x]$ (Bổ đề Gauss) nên ta chỉ cần chứng minh đa thức $P(x)=x^m(x-a)^n+p$ bất khả quy trong $\mathbb{Z}[x]$ là đủ
Giả sử phản chứng tồn tại 2 đa thức $Q(x)$ và $R(x)\in \mathbb{Z}[x]$ bậc $\geq 1$, hệ số dẫn đầu là $1$ (Nếu là $-1$ thì thay $Q(x);R(x)$ thành $-Q(x),-R(x)$), và thoả mãn $P(x)=x^m(x-a)^{n}+p=Q(x).R(x)$
Ta có $P(0)=Q(0).R(0)=p, P(a)=Q(a).R(a)=p$ suy ra 1 trong 2 số $Q(0)$ và $R(0)$ phải có 1 số có trị tuyệt đối bằng $1$ và số còn lại có trị tuyệt đối bằng $p$.
Không mất tính tổng quát giả sử $|Q(0)|=1,|R(0)|=p$, gọi bậc của $Q(x)$ là $k$ và $Q(x)$ có $k$ nghiệm phức $z_1;z_2;...;z_k$. Suy ra $|z_1.z_2....z_{k}|=1$. (*), $Q(x)=(x-z_1).(x-z_2)...(x-z_k)$
Mặt khác do $z_{i}\,\,\forall i=\overline{1;k}$ cũng là nghiệm của $P(x)$, từ đây ta có :
$$z_i^m.(z_i-a)^n+p=0\,\,\forall i=\overline{1;k}$$
$$\Leftrightarrow z_i^m.(z_i-a)^n=-p\,\,\forall i=\overline{1;k}$$
Edited by WhjteShadow, 19-04-2014 - 15:50.
- tranquocluat_ht, Yagami Raito, Nxb and 3 others like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users