Chủ đề này có 7 trả lời

[Trang Luong]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng : 

 

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

[Dam Uoc Mo]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng : 

 

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

BĐT $VT^{2}\geq 3(\sum a^{2})$

Có $VT^{2}=2(\sum a^{2})+\sum \frac{(ab)^{2}}{c^{2}}$

Cái $\sum \frac{(ab)^{2}}{c^{2}}\geq \sum a^{2}$.Vì thực chất nó chính là bđt $\sum x^{2}\geq \sum xy.$

Dấu "=" khi a=b=c.Kết thúc c/m được rồi.

[Messi10597]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b$

$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2c$

$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\geq 2a$

Cộng vế với vế ta có:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a+b+c$

Áp dụng BĐT Bunyacopxki ta có: 

$a+b+c\geq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\Rightarrow dpcm$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

[hoctrocuanewton]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng : 

 

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

áp dụng BĐT cơ bản : $(a+b+c)^{2}\geqslant 3(ab+bc+ac)$

ta có :

$ (\sum \frac{ab}{c})^{2}\geqslant 3\sum a^{2}(1)$

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{c}\geqslant \sqrt{3\sum a^{2}}$

[thanhducmath]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng : 

 

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

BĐT $\Leftrightarrow ((ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2})^{2}\geq 3(abc)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$(*)

áp dụng bđt $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+ac+bc)$ ta có (*) 

[nguyenhongsonk612]

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng : 

 

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Áp dụng BĐT $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a+b+c$

BĐT cần C/m trở thành: $a+b+c\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Tới đây dùng phương pháp biến đổi tương đương và áp dụng BĐT $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ ta được đpcm.

[tanconggioihan]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b$

$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2c$

$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\geq 2a$

Cộng vế với vế ta có:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a+b+c$

Áp dụng BĐT Bunyacopxki ta có: 

$a+b+c\geq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\Rightarrow dpcm$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

sao lại thế hả anh

bất đẳng thức cuối ngược cmn dấu rồi 

[Messi10597]

sao lại thế hả anh

bất đẳng thức cuối ngược cmn dấu rồi 

ừ đúng thật,mình làm nhầm mất