Chủ đề này có 1 trả lời

[phatthemkem]

Với các số dương $a,b,c$, chứng minh bằng $4$ cách:

$\frac{a\left ( b+c \right )}{a^2+\left ( b+c \right )^2}+\frac{b\left ( a+c \right )}{b^2+\left ( a+c \right )^2}+\frac{c\left ( b+a \right )}{c^2+\left ( b+a \right )^2}\leq \frac{6}{5}$

P/s: Mình làm được một cách à

[lahantaithe99]

Với các số dương $a,b,c$, chứng minh bằng $4$ cách:

$\frac{a\left ( b+c \right )}{a^2+\left ( b+c \right )^2}+\frac{b\left ( a+c \right )}{b^2+\left ( a+c \right )^2}+\frac{c\left ( b+a \right )}{c^2+\left ( b+a \right )^2}\leq \frac{6}{5}$

P/s: Mình làm được một cách à

 

Cách 1: Chuẩn hóa $a+b+c=3$

 

BĐT cần chứng minh trở thành

 

$\sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}=\sum \frac{3a-a^2}{2a^2-6a+9}\leqslant \frac{6}{5}$

 

Ta sẽ đi cm $\frac{3(3-a)}{2a^2-6a+9}\leqslant \frac{2}{5}+\frac{9}{25}(a-1)$

 

$\Leftrightarrow \frac{9}{5}(a-1)^2(2a+1)\geqslant 0$ (luôn đúng)

 

Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại thu đc đpcm

Cách 2:

 

Ta có 

 

$\frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}=\frac{a(b+c)}{a^2+\frac{(b+c)^2}{4}+\frac{3(b+c)^2}{4}}$

 

$\leqslant \frac{a(b+c)}{a(b+c)+\frac{3(b+c)^2}{4}}=\frac{4a}{4a+3b+3c}$

 

Giờ ta cần cm $\sum \frac{4a}{4a+3b+3c}\leqslant \frac{6}{5}\Leftrightarrow \sum \frac{b+c}{4a+3b+3c}\geqslant \frac{3}{5}$

 

Thật vậy áp dụng BĐT Cauchy Shwarz

 

$\sum \frac{b+c}{4a+3b+3c}=\frac{(b+c)^2}{(b+c)(4a+3b+3c)}\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{6(a+b+c)^2+2(ab+bc+ac)}$

 

$\geqslant \frac{4(a+b+c)^2}{6(a+b+c)^2+\frac{2}{3}(a+b+c)^2}=\frac{3}{5}$

 

Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 21-04-2014 - 20:47