Chủ đề này có 3 trả lời

[hoaadc08]

Cho a , b , c > 0 và abc = 1 . Tìm GTLN của : $F=\frac{1}{^{\sqrt{1+a^{2}}}}+\frac{1}{^{\sqrt{1+b^{2}}}}+\frac{1}{^{\sqrt{1+c^{2}}}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 22-04-2014 - 21:23

[lahantaithe99]

Cho a , b , c > 0 và abc = 1 . Tìm GTLN của : $F=\frac{1}{^{\sqrt{1+a^{2}}}}+\frac{1}{^{\sqrt{1+b^{2}}}}+\frac{1}{^{\sqrt{1+c^{2}}}}$

 

Đặt $(a,b,c)=(\sqrt{\frac{x}{y}},....)$

 

Khi đó ta cần tìm max của $F=\sum \sqrt{\frac{y}{x+y}}$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 

$F^2=(\sum \sqrt{\frac{y(y+z)}{(x+y)(y+z)}})^2\leqslant 2(x+y+z)(\sum \frac{y}{(x+y)(y+z)})$

 

$=2(x+y+z).\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=\frac{4(xy+yz+xz)(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ $(1)$

 

Ta có BĐT sau $(xy+yz+xz)(x+y+z)\leqslant \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$ $(2)$

 

Từ $(1);(2)$ $\Rightarrow F^2\leqslant \frac{9}{2}\Rightarrow F\leqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$

 

Vậy $max (F)=\frac{3}{\sqrt{2}}$

[caybutbixanh]

Đặt $(a,b,c)=(\sqrt{\frac{x}{y}},....)$

 

Khi đó ta cần tìm max của $F=\sum \sqrt{\frac{y}{x+y}}$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 

$F^2=(\sum \sqrt{\frac{y(y+z)}{(x+y)(y+z)}})^2\leqslant 2(x+y+z)(\sum \frac{y}{(x+y)(y+z)})$

 

$=2(x+y+z).\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=\frac{4(xy+yz+xz)(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ $(1)$

 

Ta có BĐT sau $(xy+yz+xz)(x+y+z)\leqslant \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$ $(2)$

 

Từ $(1);(2)$ $\Rightarrow F^2\leqslant \frac{9}{2}\Rightarrow F\leqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$

 

Vậy $max (F)=\frac{3}{\sqrt{2}}$

Bạn có thể chứng minh BĐT phụ trong bài được không ? Mình nghĩ với những bài Cực trị  bạn cần chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào nữa thì mới trọn vẹn chứ nêu mình min,max không thì chưa có giá trị cho lắm.

[lahantaithe99]

Bạn có thể chứng minh BĐT phụ trong bài được không ? Mình nghĩ với những bài Cực trị  bạn cần chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào nữa thì mới trọn vẹn chứ nêu mình min,max không thì chưa có giá trị cho lắm.

Chứng minh BĐT phụ

 

$(xy+yz+xz)(x+y+z)=(x+y)(y+z)(z+x)+xyz$

 

$\leqslant (x+y)(y+z)(z+x)+\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{8}=\frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$