Chủ đề này có 3 trả lời

[hoainamcx]

$\lim_{x,y \to 0,0} \frac{x sin y - y sin x}{x^{2} + y^{2}}$

D/s: 0

[Mrnhan]

$\lim_{x,y \to 0,0} \frac{x sin y - y sin x}{x^{2} + y^{2}}$

D/s: 0

 

Mình học cái này lâu rồi, giờ thử làm lại xem sao.

 

Hướng dẫn giải:

 

Áp dụng khai triển Maclaurin, ta có:

 

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+O(x^3),\: \: \sin y=y-\frac{y^3}{3!}+O(y^3)$

 

Nên $x\sin y-y\sin x=x\left ( y-\frac{y^3}{3!}+O(y^3) \right )-y\left (x-\frac{x^3}{3!}+O(x^3) \right )=\frac{1}{6}xy\left ( x^2-y^2 \right )+O(x^2+y^2)$

 

Mà $\left | \frac{xy\left ( x^2-y^2 \right )}{x^2+y^2} \right |\leq \frac{1}{2}\left | x^2-y^2 \right |\to 0$

 

Vì $x\to 0,\: \: y\to 0$

 

Nên giới hạn đã cho có kết quả bằng không.

 

Cách khác.

 

$x\sin y-y\sin x=xy \left ( \frac{\sin y}{y}-\frac{\sin x}{x} \right ) \Rightarrow \left | \frac{xy \left ( \frac{\sin y}{y}-\frac{\sin x}{x} \right )}{x^2+y^2} \right |\leq \frac{1}{2}\left | \frac{\sin y}{y}-\frac{\sin x}{x} \right |\to \frac{1}{2}\left | 1-1 \right |=0$

 

Vì $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1,\: \: \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y}=1$

[hoainamcx]

Anh xem dùm em, e đã hỏi thầy và thầy bảo "không được, sao lại so sánh như vậy"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoainamcx: 23-04-2014 - 23:27

[Mrnhan]

Anh xem dùm em, e đã hỏi thầy và thầy bảo "không được, sao lại so sánh như vậy"

 

So sánh gì vậy? Cái này là dùng bất đẳng thức mà