Chủ đề này có 2 trả lời

[lovemathforever99]

Cho $n$ nguyên dương. CMR : 

$\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+...+\frac{n}{3^{n}}< \frac{3}{4}$

MOD.Chú ý tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 22-04-2014 - 17:24

[Binh Le]

Với $k$ nguyên dương thì 

$\frac{k+0,5}{2.3^{k-1}}-\frac{k+1,5}{2.3^{k}}=\frac{k}{3^{k}}$

Do đó 

$P=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+....+\frac{n}{3^{n}}=\frac{1,5}{2}-\frac{2,5}{2.3}+\frac{2,5}{2.3}-\frac{3,5}{2.3^{2}}+....+\frac{n+0,5}{2.3^{n-1}}-\frac{n+1,5}{2.3^{n}}=\frac{1,5}{2}-\frac{n+1,5}{2.3^{n}}< \frac{1,5}{2}=\frac{3}{4}(dpcm))$

 

..............................................................

P/s: Bằng cách làm trên ta có thể mở rộng bài toán thành 

Với $n$ nguyên dương và $a> 1$ thì $\frac{1}{a}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{3}{a^{3}}+...+\frac{n}{a^{n}}< \frac{a}{(a-1)^{2}}$

Bạn có thể tự chứng minh để khắc sâu kiến thức   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 22-04-2014 - 18:34

[lovemathforever99]

Có thể giải bài toán này bằng cách tự nhiên hơn được không? Thầy mình cũng đã giải bằng cách này nhưng mình thấy vào phòng thi không thể nghĩ tới những con số kia được