Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$
Chứng minh: $x+y+z\leq xyz+2$
Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$
Chứng minh: $x+y+z\leq xyz+2$
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow x+y+z(1-xy)\leqslant 2$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$\left [ (x+y)+z(1-xy) \right ]^2\leqslant \left [ (x+y)^2+z^2 \right ]\left [ 1+(1-xy)^2 \right ]=(2+2xy)(2+x^2y^2-2xy)$
Ta sẽ chứng minh $(2xy+2)(2+x^2y^2-2xy)\leqslant 4\Leftrightarrow x^2y^2(xy-1)\leqslant 0(*)$
Lại có
$xy\leqslant \frac{x^2+y^2}{2}\leqslant \frac{x^2+y^2+z^2}{2}=1\Rightarrow (*)$ đúng
Do đó ta có đpcm
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh