Chủ đề này có 2 trả lời

[phathuy]

Bài 7: Cho x, y là các số dương khác -1. Chứng minh

$\frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1+y \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{1+xy}$

Bài này mình đã có lời giải rồi nhưng lời giải đó sử dụng biến đổi tương đương rất lằng nhằng, phức tạp vì vậy các bạn cố gắng đưa ra lời giải đơn giản nhất có thể nhé.

[Binh Le]

Bài này cm nhiều chỗ rồi nhưng thôi cm lại ở đây vậy 

$(1+x)^{2}=(1.1+\sqrt{xy}.\sqrt{\frac{x}{y}})^{2}\leq (1+xy)(1+\frac{x}{y})=\frac{(1+xy)(x+y)}{y}$

$\Rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}}\geq \frac{y}{(1+xy)(x+y)}$

cmtt $\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{x}{(1+xy)(x+y)}$

Cộng theo vế được đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y$

[KietLW9]

Bài 7: Cho x, y là các số dương khác -1. Chứng minh

$\frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1+y \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{1+xy}$

Bài này mình đã có lời giải rồi nhưng lời giải đó sử dụng biến đổi tương đương rất lằng nhằng, phức tạp vì vậy các bạn cố gắng đưa ra lời giải đơn giản nhất có thể nhé.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant \frac{2x^2y^2-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}=\frac{(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant 0$