Chủ đề này có 2 trả lời

[Alexman113]

Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:$$\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\ge3\left(x+y+z\right)^2$$

[lahantaithe99]

Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:$$\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\ge3\left(x+y+z\right)^2$$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 

$(x^2+2)(1+\frac{(y+z)^2}{2})\geqslant (x+y+z)^2$

 

$\Leftrightarrow 3(x^2+2)(1+\frac{(y+z)^2}{2})\geqslant 3(x+y+z)^2$

 

Ta đi chứng minh $(y^2+2)(z^2+2)\geqslant 3(1+\frac{(y+z)^2}{2})$

 

$\Leftrightarrow y^2z^2+1+\frac{y^2+z^2}{2}\geqslant 3yz$ 

 

$\Leftrightarrow (yz-1)^2+(y-z)^2\geqslant 0$ (luôn đúng với mọi số thực $y,z$)

 

Vậy ta có đpcm

 

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$

[25 minutes]

Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:$$\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\ge3\left(x+y+z\right)^2$$

Khai triển sau đó sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau : 

                   $a^2+b^2+c^3+2abc+1 \geqslant 2(ab+bc+ca)$

Ta có thể chứng minh được bất đẳng thức mạnh hơn 

                 $$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\geqslant 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)$