Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{a^2+7} + \frac{4}{b^2+7} + \frac{4}{c^2+7}$
Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh bất đẳng thức nhiều biến đối xứng?
Bắt đầu bởi chiyeuminhem, 28-04-2014 - 13:03
#2
Đã gửi 28-04-2014 - 19:08
quocdu89
-
- Thành viên
-
- 55 Bài viết
Hạ sĩ
Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{a^2+7} + \frac{4}{b^2+7} + \frac{4}{c^2+7}$
Ta có:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+b+c+b}=\frac{8}{2\left (a+b+c \right )+2b}\geq \frac{8}{2\sqrt{3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )}+b^2+1}=\frac{8}{b^2+7}$
Tương tự:
$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{8}{c^2+7}$
$\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{8}{a^2+7}$
Vậy $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{a^2+7} + \frac{4}{b^2+7} + \frac{4}{c^2+7}$
Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=1$
- Phuong Thu Quoc và xCaroZ thích
Sống trong cuộc sống cần có một tấm lòng!
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
