Chủ đề này có 1 trả lời

[chiyeuminhem]

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $abc(a+b+c)^2 = (ab+bc+ca)^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{4a^3+1}{b} + \frac{4b^3+1}{c} + \frac{4c^3+1}{a}$

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $abc(a+b+c)^2 = (ab+bc+ca)^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{4a^3+1}{b} + \frac{4b^3+1}{c} + \frac{4c^3+1}{a}$

Từ giả thiết và áp dụng AM-GM ta có được

       $abc(a+b+c)^2=(ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c)$

$\Rightarrow a+b+c\geqslant 3$

Đến đây có $P=4(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a})+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta có $\frac{a^3}{b}+b+1\geqslant 3a$

     $\Rightarrow 4(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a})\geqslant 4\left [ 2(a+b+c)-3 \right ]$

Và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{9}{a+b+c}$

Đặt $t=a+b+c \geqslant 3$ $\Rightarrow P\geqslant 8t+\frac{9}{t}-12=(t+\frac{9}{t})+7t-12\geqslant 15$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$