Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)
Edited by buiminhhieu, 28-04-2014 - 21:24.
Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)
Edited by buiminhhieu, 28-04-2014 - 21:24.
Câu nói bất hủ nhất của Joker :
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"
Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$\sqrt{(x+\frac{1}{x^2})(\frac{1}{3}+9)}\geqslant \sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{x}$
$\Rightarrow M\sqrt{\frac{28}{3}}\geqslant \sum \sqrt{\frac{x}{3}}+\sum \frac{3}{x}$ $(1)$
Áp dụng BĐT $AM-GM$
$\sqrt{\frac{x}{3}}+\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{1}{9x}\geqslant 1$
Thiết lập tương tự ta có $\sum \sqrt{\frac{x}{3}}\geqslant \frac{1}{2}(3-\sum \frac{1}{9x})$ $(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra $M\sqrt{\frac{28}{3}}\geqslant \frac{3}{2}+\sum \frac{53}{18x}$
$\geqslant \frac{3}{2}+\frac{53}{2}=28\Rightarrow M\geqslant 2\sqrt{21}$
Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)
Lời giải khác:
Sử dụng BĐT Mincopxki, ta có:
$M\geq \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}$
Xét: $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$
$S=x+y+z+\frac{1}{162}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}+\frac{161}{162}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$
Ta có: $\frac{1}{162}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq \frac{1)}{2.(x+y+z)^{2}}$
$\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{1}{162}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq \frac{1}{2.(x+y+z)^{2}}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}$ ( $By AM - GM$ )
Mà $ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq 3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq (\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})^{2} $
$\Rightarrow \frac{160}{161}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2} \geq \frac{160}{161}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})^{2}$
Sử dụng tách điểm rơi thêm 1 lần nữa ta sẽ tìm đươc $Min M = 2\sqrt{21}$ ; Cực trị đạt được tại tâm
P/s: Cách này khá dài nhưng ý tưởng giải quyết thật rất tự nhiên..
Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng
Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng
- Nhân Chính -
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$\sqrt{(x+\frac{1}{x^2})(\frac{1}{3}+9)}\geqslant \sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{x}$
$\Rightarrow M\sqrt{\frac{28}{3}}\geqslant \sum \sqrt{\frac{x}{3}}+\sum \frac{3}{x}$ $(1)$
Áp dụng BĐT $AM-GM$
$\sqrt{\frac{x}{3}}+\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{1}{9x}\geqslant 1$
Thiết lập tương tự ta có $\sum \sqrt{\frac{x}{3}}\geqslant \frac{1}{2}(3-\sum \frac{1}{9x})$ $(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra $M\sqrt{\frac{28}{3}}\geqslant \frac{3}{2}+\sum \frac{53}{18x}$
$\geqslant \frac{3}{2}+\frac{53}{2}=28\Rightarrow M\geqslant 2\sqrt{21}$
Bạn ơi cho mình hỏi sao bạn đoán điểm rơi dc cái BĐT B.C.S vậy? Chỉ mình dc k?
Edited by QuynhTam, 01-05-2014 - 16:38.
Nếu muốn có được những thứ chưa từng có thì bạn phải làm những việc chưa từng làm.
Bạn ơi cho mình hỏi sao bạn đoán điểm rơi dc cái BĐT B.C.S vậy? Chỉ mình dc k?
những bài ntn thường thì đoán đc dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau, từ đó kết hợp với đk xảy ra dấu bằng của bđt Bcs thì nó ra như thế bạn ạ
bạn ví dụ dùm mình làm sao ra được cái hệ số BĐT bài này được k? thanks nhiều.
Edited by QuynhTam, 01-05-2014 - 17:45.
Nếu muốn có được những thứ chưa từng có thì bạn phải làm những việc chưa từng làm.
có $\frac{\sqrt{x}}{m}=\frac{1}{xn}$bạn ví dụ dùm mình làm sao ra được cái hệ số BĐT bài này được k? thanks nhiều.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users