Cho $x,y,z\geq 0$ đôi một khác nhau. CMR:
$(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
CMR: $(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
#1
Posted 29-04-2014 - 16:09
- lahantaithe99 likes this
#2
Posted 29-04-2014 - 16:21
Cho $x,y,z\geq 0$ đôi một khác nhau. CMR:
$(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
Giả sử $z=min\left \{ x;y;z \right \}$
Ta có: $\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(x-z)^2}=\left ( \frac{1}{y-z}-\frac{1}{x-z} \right )^2+\frac{2}{(y-z)(x-z)}=\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(x-z)^2}+\frac{2}{(y-z)(x-z)}(1)$
Áp dụng AM-GM: $\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(x-z)^2}+\frac{1}{(x-y)^2}\geq \frac{2}{(y-z)(x-z)}(2)$
Từ $(1);(2) \Rightarrow \sum \frac{1}{(x-y)^2}\geq \frac{4}{(y-z)(x-z)}$
Ta cần CM: $\frac{4}{(y-z)(x-z)}\geq \frac{4}{xy+yz+xz}\Leftrightarrow z(2y+2x-z)\geq 0$ (đúng do $z$ nhỏ nhất)
p/s:Hình như bài này là $VMO 2007$ (nếu mình ko nhầm )
Edited by phuocdinh1999, 29-04-2014 - 16:22.
- Trang Luong, lahantaithe99, HoangHungChelski and 1 other like this
#3
Posted 24-04-2021 - 12:43
Cho $x,y,z\geq 0$ đôi một khác nhau. CMR:
$(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
Xin trích dẫn một lời giải, đề thì tương tự, chỉ đổi biến thôi
$$\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}\geq \frac{4}{bc+ca+ab}.$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong ba số.
Khi đó $$VT\geq \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}=\frac{2}{ab}+\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}\geq \frac{4}{ab}\geq \frac{4}{bc+ca+ab}.$$
Đẳng thức xảy ra tại bộ $(1+\sqrt{5},-1+\sqrt{5},0)$ và các hoán vị tương ứng. $\square$
Edited by KietLW9, 24-04-2021 - 12:44.
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users