Chủ đề này có 2 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $x,y,z\geq 0$ đôi một khác nhau. CMR:
$(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})\geq 4$

[phuocdinh1999]

Cho $x,y,z\geq 0$ đôi một khác nhau. CMR:
$(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})\geq 4$

Giả sử $z=min\left \{ x;y;z \right \}$

Ta có: $\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(x-z)^2}=\left ( \frac{1}{y-z}-\frac{1}{x-z} \right )^2+\frac{2}{(y-z)(x-z)}=\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(x-z)^2}+\frac{2}{(y-z)(x-z)}(1)$

 

Áp dụng AM-GM: $\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(x-z)^2}+\frac{1}{(x-y)^2}\geq \frac{2}{(y-z)(x-z)}(2)$

 

Từ $(1);(2) \Rightarrow \sum \frac{1}{(x-y)^2}\geq \frac{4}{(y-z)(x-z)}$

 

Ta cần CM: $\frac{4}{(y-z)(x-z)}\geq \frac{4}{xy+yz+xz}\Leftrightarrow z(2y+2x-z)\geq 0$ (đúng do $z$ nhỏ nhất)

 

p/s:Hình như bài này là $VMO 2007$ (nếu mình ko nhầm )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 29-04-2014 - 16:22

[KietLW9]

Cho $x,y,z\geq 0$ đôi một khác nhau. CMR:
$(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})\geq 4$

Xin trích dẫn một lời giải, đề thì tương tự, chỉ đổi biến thôi

$$\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}\geq \frac{4}{bc+ca+ab}.$$

Không mất tính tổng quát, giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong ba số.

Khi đó $$VT\geq \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}=\frac{2}{ab}+\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{1}{(a-b)^{2}}\geq \frac{4}{ab}\geq \frac{4}{bc+ca+ab}.$$

Đẳng thức xảy ra tại bộ $(1+\sqrt{5},-1+\sqrt{5},0)$ và các hoán vị tương ứng. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 24-04-2021 - 12:44