Chủ đề này có 1 trả lời

[Hermione Granger]

Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng:

$\frac{ x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{ y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{ z^{2}+x^{2}}{z+x}\geq \sqrt{3\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right )}$

[Hoang Tung 126]

 

Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng:

$\frac{ x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{ y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{ z^{2}+x^{2}}{z+x}\geq \sqrt{3\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right )}$

 

Chuẩn hóa $x^2+y^2+z^2=3$

Do đó cần Cm :$\sum \frac{x^2+y^2}{x+y}\geq 3$

Theo Bunhiacoipxki có :$\sum \frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^2+y^2})^2}{\sum (x+y)}\geq 3< = > (\sum \sqrt{x^2+y^2})^2\geq 6\sum x< = > 2\sum x^2+2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq 6\sum x< = > 2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}+6\geq 6\sum x$

Mà $2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq 2\sum (x^2+yz)=\sum x^2+(\sum x^2+2\sum yz)=3+(\sum x)^2$

Do đó ta cần CM :$(\sum x)^2+3+6\geq 6\sum x< = > (\sum x-3)^2\geq 0$( Luôn đúng)

 Dấu = xảy ra khi x=y=z