Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:
$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$
Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:
$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$
Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:
$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$
Theo Bunhiacopxki có:$\sum \frac{x}{x^2-yz+2010}=\sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}\geq \frac{(\sum x)^2}{\sum x^3-3xyz+2010(\sum x)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2-\sum yz)+2010\sum x}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2-\sum yz+2010)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2-670+2010)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2+2\sum xy)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)^3}=\frac{1}{x+y+z}$
$\sum \frac{x}{x^2-yz+2010}= \sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2010x} \ge \frac{(x+y+z)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz+2010})$
Dễ dang nhận thấy $2010=3(xy+yz+xz)$
Thay vào $\sum \frac{x}{x^2-yz+2010} \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)}=\frac{1}{x+y+z}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 29-04-2014 - 22:03
$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$
Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:
$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$
Ta có :
$\frac{x}{x^2-yz+2010}=\frac{x}{x^2+2yz+3xy+3xz}=\frac{x^2}{x^3+2xyz+3x^2y+3x^2z}\Rightarrow \sum \frac{x}{x^2-yz+2010}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}=\frac{1}{x+y+z}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh