Chủ đề này có 4 trả lời

[Oral1020]

Cho $a;b; \in N^*$ và $(a^2+b^2) \vdots (ab-1)$.Tính : $\dfrac{a^2+b^2}{ab-1}$

[HoangHungChelski]

Giả sử có $dpcm$. 
Nếu $a=b\Rightarrow 2a^2\vdots a^2-1\Rightarrow 2\vdots a^2-1$(vô lí)
$\Rightarrow a\neq b$. 
Vì vai trò như nhau, giả sử $a>b$
+ Nếu $b=1$ mà $a^2+1\vdots a-1\Rightarrow 2\vdots a^2-1\Rightarrow a=2;3\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab-1}=5$
+ Nếu $b>1$
Ta có: $a^2+b^2\vdots ab-1\Rightarrow b^2(a^2+b^2)\vdots ab-1\Rightarrow b^4+1\vdots ab-1$
Đặt $k=\frac{b^4+1}{ab-1}>0\Rightarrow kab-k=b^4+1\Rightarrow k\equiv -1(mod-b)$
Do đó có $c\in \mathbb{N^*}$ để $k=bc-1$$\Rightarrow b^4+1=(ab-1)(bc-1)$
Ta có $\frac{b^2(a^2+b^2)}{bc-1}=bc+1+\frac{b^4+1}{bc-1}=bc+ab$
mặt khác, ta có $\frac{b^2(a^2+b^2)}{ab-1}= ab+1+\frac{b^4+1}{ab-1}=ab+bc$
$\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab-1}=\frac{b^2+c^2}{bc-1}$
Tương tự $\Rightarrow b\neq c$
Có: $a>b>1\Rightarrow ab-1=b^2+1+b(a-b)-2\geq b^2+1\Rightarrow (b^2+1)^2> b^4+1=(ab-1)(bc-1)\geq (b^2+1)(bc-1)\Rightarrow b^2+1> bc-1\Rightarrow 2>b(c-b)$ mà $b>1\Rightarrow b>c$
+ Nếu $c>1$, tương tự, ta có $d\in \mathbb{N^*}, a>b>c>d\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab-1}=\frac{b^2+c^2}{bc-1}= \frac{c^2+d^2}{cd-1}$
...
Quá trình cứ tiếp tục như vậy, dẫn đến tồn tại $n\in \mathbb{N^*}$ mà $a>b>c>d>...>n>1$
$\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab-1}=...=\frac{n^2+1}{n-1}$
Vì $n^2+1\vdots n-1\Rightarrow n=2,3\Rightarrow \frac{n^2+1}{n-1}=5\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab-1}=5$
Kết luận: Vậy $\frac{a^2+b^2}{ab-1}=5$

P/s: Thực sự bài này là bài cực khó, đây là lời giải trong Tuyển tập Chuyên đề THTT (3).
 

[buitudong1998]

Cho $a;b; \in N^*$ và $(a^2+b^2) \vdots (ab-1)$.Tính : $\dfrac{a^2+b^2}{ab-1}$

Tham khảo thêm tại đây và đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 30-04-2014 - 20:18

[Binh Le]

Cho $a;b; \in N^*$ và $(a^2+b^2) \vdots (ab-1)$.Tính : $\dfrac{a^2+b^2}{ab-1}$

Ặc ặc ,đây là bài khó nhất của kì thi IMO 1988 dùng tới bước nhảy Viet mà cấp 2 làm thì quá DỮ 

[HoangHungChelski]

Ặc ặc ,đây là bài khó nhất của kì thi IMO 1988 dùng tới bước nhảy Viet mà cấp 2 làm thì quá DỮ 

cách mà em đăng lên cấp 2 đấy chị à