1 reply to this topic

[Chris yang]

Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $\left\{\begin{matrix} 2n+2003 & \\ 3n+2005 & \end{matrix}\right.$ là số chính phương

[HoangHungChelski]

Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $\left\{\begin{matrix} 2n+2003 & \\ 3n+2005 & \end{matrix}\right.$ là số chính phương

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2n+2003=a^2 & & \\ 3n+2005=b^2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 6n+6009=3a^2 & & \\ 6n+4010=2b^2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow 3a^2-2b^2=1999\Leftrightarrow 3a^2=1999+2b^2$ (1) ($a,b\in \mathbb{Z^+}$)
Thấy $VP$ lẻ nên $VT$ lẻ $\Rightarrow$ $a$ lẻ. Đặt $a=2k+1$ với $k\in \mathbb{Z^+}$
Ta có: $(1)\Leftrightarrow 3(2k+1)^2-2b^2=1999\Leftrightarrow 12k^2+12k-2b^2=1996\Leftrightarrow 6k(k+1)-b^2=998$
Dễ dàng CM $6k(k+1)\equiv 0(mod4)$ mà $998\equiv 2(mod4)$ $\Rightarrow b^2\equiv 2(mod4)$ (vô lí vì số chính phương chia $4$ chỉ có dư $0$ hoặc $1$)
Vậy không tìm được $n$ thỏa mãn.

Edited by HoangHungChelski, 02-05-2014 - 19:27.