Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Huy Hoang]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

CMR: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Hoang: 04-05-2014 - 18:39

[Vu Thuy Linh]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{4}$

CMR: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq 1$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$ hay $\frac{1}{4}$ hả bạn

[dogsteven]

$\dfrac{1}{a+b}\le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

 

 

Có $\dfrac{1}{2x+y+z} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{y+z})\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}))=\dfrac{1}{8x}+\dfrac{1}{16y}+\dfrac{1}{16z}$

Tương tự:

$\dfrac{1}{2y+z+x}\le \dfrac{1}{8y}+\dfrac{1}{16z}+\dfrac{1}{16x}$

$\dfrac{1}{2z+x+y}\le \dfrac{1}{8z}+\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{16y}$

 

$\sum \dfrac{1}{2x+y+z} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{16}$

 

Vậy đề có vấn đề. Chắc là $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4$

[Nguyen Huy Hoang]

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$ hay $\frac{1}{4}$ hả bạn

 

 

$\dfrac{1}{a+b}\le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

 

 

Có $\dfrac{1}{2x+y+z} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{y+z})\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}))=\dfrac{1}{8x}+\dfrac{1}{16y}+\dfrac{1}{16z}$

Tương tự:

$\dfrac{1}{2y+z+x}\le \dfrac{1}{8y}+\dfrac{1}{16z}+\dfrac{1}{16x}$

$\dfrac{1}{2z+x+y}\le \dfrac{1}{8z}+\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{16y}$

 

$\sum \dfrac{1}{2x+y+z} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{16}$

 

Vậy đề có vấn đề. Chắc là $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4$

Đúng rồi. Mình nhầm. Thanks các bạn

[yeutoan2604]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

CMR: A= $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \leq 1$

Ta có $\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Tương tự: $\frac{1}{x+2y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z});\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z})$

Cộng vế ta có $A\leq \frac{1}{16}(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z})=1$