Chủ đề này có 1 trả lời

[quanghao98]

Cho $0 \leq x,y,z \leq 2$ và $x+y+z=3$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{27}{(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)} \leq \dfrac{1}{4-x^2}+\dfrac{1}{4-y^2}+\dfrac{1}{4-z^2}$

[Hoang Tung 126]

Cho $0 \leq x,y,z \leq 2$ và $x+y+z=3$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{27}{(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)} \leq \dfrac{1}{4-x^2}+\dfrac{1}{4-y^2}+\dfrac{1}{4-z^2}$

Trước hết ta Cm :$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\geq 3(x+y+z)^2< = > x^2y^2z^2+2\sum x^2y^2+4\sum x^2+8\geq 3\sum x^2+6\sum xy< = > x^2y^2z^2+\sum x^2+2\sum x^2y^2+8\geq 6\sum xy$

Theo Đirichle giả sử $(x-1)(y-1)\geq 0= > xyz\geq xz+yz-z= > x^2y^2z^2+1\geq 2xyz\geq 2(xz+yz-z)= > x^2y^2z^2+\sum x^2+2\sum x^2y^2+8\geq 2(xz+yz-z)+\sum x^2+2\sum x^2y^2+7+=2(x^2y^2+1)+(z-1)^2+2(y^2z^2+1)+2(x^2z^2+1)+(x^2+y^2)+2xz+2yz\geq 4xy+0+4yz+2xy+2xz+2yz+4xz=6(\sum xy)$(ĐPCM)

 $= > (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\geq 3(x+y+z)^2=3.3^2=27= > \frac{27}{(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)}\leq 1$(1)

Mà theo Bunhiacopxki có:$\sum \frac{1}{4-x^2}\geq \frac{9}{12-\sum x^2}\geq \frac{9}{12-\frac{(\sum x)^2}{3}}=\frac{9}{12-3}=1$(2)

Từ (1),(2) ta có ĐPCM.

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1