1.Cho x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh: xy+yz+xz $\leq \frac{2}{7}+\frac{9}{7}xyz$
2.Cho x,y thỏa mãn x2+xy+y2=1. Tìm Max P= x3y + xy3
1.Cho x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh: xy+yz+xz $\leq \frac{2}{7}+\frac{9}{7}xyz$
2.Cho x,y thỏa mãn x2+xy+y2=1. Tìm Max P= x3y + xy3
Bài 2
Ta có $P=x^{3}y+y^{3}x = xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )$
vì $x^{2}+y^{2}+xy=1$ $\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1-xy$
$\Rightarrow P=xy(1-xy)=xy(\frac{2}{3}-xy)+\frac{1}{3}xy$
Áp dụng HĐT: $$xy\left ( \frac{2}{3} \right - xy)\leqslant \frac{(xy+\frac{2}{3}-xy)^{2}}{4}=\frac{1}{9}$ (1)$
Tiếp tục sd HĐT $(x+y)^{2}\geqslant 0 \Rightarrow 2xy\leqslant x^{2}+y^{2}$
$\Rightarrow 3xy\leq x^{2}+xy+y^{2}= 1 \Rightarrow xy\leqslant \frac{1}{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{3}xy\leqslant \frac{1}{9} (2)$
Từ (1) (2) $\Rightarrow$ $P_{max}=\frac{2}{9}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trang91ht: 06-05-2014 - 00:48
Làm nốt bài 1
Với điều kiện bài toán
BĐT cần cm được viết lại $P=xy(1-\frac{9}{7}z)+z(1-z)-\frac{2}{7}\leq 0$
Nếu $z=\frac{7}{9}$ thì $P=\frac{-64}{567}$
Nếu $z\neq \frac{7}{9}$ thì $P$ là hàm bậc nhất của $xy$
Lại có $0\leq xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{(1-z)^{2}}{4}$
Mặt khác $f(0)=-(z-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{28}< 0$
$f(\frac{(1-z)^{2}}{4})=-(z+1)(3z-1)^{2}\leq 0$
Từ đó suy ra $P\leq 0$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 06-05-2014 - 05:10
๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ
Có ai còn cách nào giải bài 1 mà không cần xét hàm không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILOVECR7: 06-05-2014 - 21:10
mình còn cách này dùng bdt schur cho đỡ phức tạp :v
$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)=-8xyz-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)+1 =-8xyz+4(xy+yz+zx)-1$
hay là $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$
bdt cần cm sẽ viết lại thành
$4(xy+yz+zx)+3(xy+yz+zx)\leq 1+(1+9xyz)$
mà $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$ nên ta đi c/m $1\geq 3(xy+yz+zx)$
cái này đúng khi thay x+y+z=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanganhhaha: 06-05-2014 - 21:16
mình còn cách này dùng bdt schur cho đỡ phức tạp :v
$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)=-8xyz-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)+1 =-8xyz+4(xy+yz+zx)-1$
hay là $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$
bdt cần cm sẽ viết lại thành
$4(xy+yz+zx)+3(xy+yz+zx)\leq 1+(1+9xyz)$
mà $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$ nên ta đi c/m $1\geq 3(xy+yz+zx)$
cái này đúng khi thay x+y+z=1
Cái này chứng minh xy+yz+xz$\leq \frac{1}{4}+\frac{9}{4}xyz$ rồi
là sao nhỉ, mình k hiểu ý bạn lắm
Bạn chuyển vế sau khi chứng minh là thấy đó
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh