Chủ đề này có 2 trả lời

[Hung Vu]

$1):$Cho $x,y,z \in (0;1)$ và $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^2+y^2+z^2$

$2):$Cho $a,b,c$ là các số dương đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}ab+bc=2c^2 \\2a \leq c \end{matrix}\right.$.

               Tìm giá trị lớn nhất củ biểu thức $A=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}$

[25 minutes]

$1):$Cho $x,y,z \in (0;1)$ và $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^2+y^2+z^2$

$2):$Cho $a,b,c$ là các số dương đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}ab+bc=2c^2 \\2a \leq c \end{matrix}\right.$.

               Tìm giá trị lớn nhất củ biểu thức $A=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}$

Câu 1:

 Đặt $(\frac{x}{1-x},\frac{y}{1-y},\frac{z}{1-z})=(a,b,c)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} abc=1\\(x,y,z)=(\frac{a}{a+1},\frac{b}{b+1},\frac{c}{c+1}) \end{matrix}\right.$

Ta có $\sum \frac{a^2}{(a+1)^2}=\sum \frac{1}{(1+\frac{1}{a})^2}=\sum \frac{1}{(1+\alpha )^2}$

Với $(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\Rightarrow \alpha \beta \gamma =1$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau 

          $\frac{1}{(1+\alpha )^2}+\frac{1}{(1+\beta )^2}\geqslant \frac{1}{1+\alpha \beta }=\frac{\gamma }{1+\gamma }$

Khi đó $P\geqslant \frac{\gamma }{1+\gamma }+\frac{1}{(1+\gamma )^2}=\frac{\gamma ^2+\gamma +1}{(1+\gamma )^2}\geqslant \frac{3}{4}\Leftrightarrow (\gamma -1)^2 \geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $\alpha =\beta =\gamma =1\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

Câu 2: Biểu thức đồng bậc giữa giả thiết và biểu thức

Chia cả cho $c$

[songchiviuocmo2014]

$1):$Cho $x,y,z \in (0;1)$ và $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^2+y^2+z^2$

 

 

Câu 1 
Bởi $x,y,z \in (0;1)$ và $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$ nên

$ xyz \geq 0\\$ 

$ x^2+y^2+z^2\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\\$ 

$ \sqrt[3]{x^2y^2z^2} \geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi songchiviuocmo2014: 07-05-2014 - 17:00