Bài này thì có rất nhiều cách chứng minh.
1. Chứng minh và sử dụng bất đẳng thức trung gian:
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2} \ge \sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}$ $(1)$
Bình phương 2 vế:
$a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \ge a^2+b^2+x^2+y^2+2(ax+by)$
$\Leftrightarrow \sqrt{a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2} \ge ax+by$
$\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2 \ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2$
$\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2-2aybx \ge 0$
$\Leftrightarrow (ay-bx)^2 \ge 0$ $(2)$
Bất đẳng thức $(2)$ luôn đúng nên $(1)$ luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi $ay=bx$
Áp dụng $(1)$ vào bài toán:
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2} \ge \sqrt{(a+b)^2+(b+c)^2}$
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2} \ge \sqrt{(a+b)^2+(b+c)^2}+\sqrt{c^2+a^2} \ge \sqrt{2(a+b+c)^2}$ (dpcm)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
2. Dùng vector (cách này không được áp dụng, nhưng cũng là một cách chứng minh, mang tính tham khảo):
$|\vec{u}|+|\vec{v}|+|\vec{t}| \ge |\vec{u}+\vec{v}+\vec{t}|$ $(1)$
Đặt $\vec{u}=(a; b), \vec{v}=(b; c), \vec{t}=(c;a)$
Vậy $\vec{u}+\vec{v}+\vec{t}=(a+b+c;a+b+c)$
Áp dụng 1 vào ta được: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2} \ge \sqrt{2(a+b+c)^2}$ (dpcm)
Đẳng thức xảy ra khi $\vec{u}=k\vec{v}=n\vec{t}$ hay $a=b=c$
3. Áp dụng bất đẳng thức Minkovsky ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 09-05-2014 - 07:33