Cho $x,y,z>0$ thỏa $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\Sigma \sqrt[3]{x+7}\leq 2\Sigma x^{4}$
#2
Đã gửi 09-05-2014 - 15:44
Hoang Tung 126
-
- Thành viên
-
- 2061 Bài viết
Thiếu tá
Cho $x,y,z>0$ thỏa $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$\Sigma \sqrt[3]{x+7}\leq 2\Sigma x^{4}$
Theo AM-GM 3 số có:$\sum \sqrt[3]{(x+7)}=\frac{\sum \sqrt[3]{(x+7).8.8}}{4}\leq \sum \frac{x+7+8+8}{12}=\sum \frac{x}{12}+\frac{69}{12}\leq \sum \frac{\frac{x^4+1+1+1}{4}}{12}+\frac{69}{12}=\sum \frac{x^4+3}{48}+\frac{69}{12}\leq 2\sum x^4< = > \sum x^4\geq 3$
Nhưng bđt này đúng do theo AM-GM có:$\sum (x^4+x^4+z^4+1)\geq 4\sum x^2z=4.3=12= > \sum x^4\geq 3$
- hieuvipntp và lahantaithe99 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
