Cho đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-4\,\,(C).$ Gọi $A,\,B$ là hai điểm thuộc $(C)$ thỏa mãn tiếp tuyến tại $A$ song song tiếp tuyến tại $B.$ Chứng minh trung điểm $I$ của $AB$ cũng thuộc $(C).$
Cho đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-4\,\,(C).$ Chứng minh trung điểm $I$ của $AB$ cũng thuộc $(C).$
#1
Đã gửi 11-05-2014 - 19:50
#2
Đã gửi 23-05-2014 - 14:22
Cho đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-4\,\,(C).$ Gọi $A,\,B$ là hai điểm thuộc $(C)$ thỏa mãn tiếp tuyến tại $A$ song song tiếp tuyến tại $B.$ Chứng minh trung điểm $I$ của $AB$ cũng thuộc $(C).$
TXĐ : D=R
Có $(y)'=3x^{2}+6x$
Gọi $A(x_{1};y_{1});B(x_{2};y_{2}) \in(C)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}=x_{1}^{3}+3x^{2}_{1}-4\\ y_{2}=x_{2}^{3}+3x_{2}^{2}-4 \end{matrix}\right.$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A;B là $\left\{\begin{matrix} k_{1}=3x_{1}^{2}+6x_{1}\\ k_{2}=3x^{2}_{2}+6x_{2} \end{matrix}\right.$
Do TT tại A và B song song với nhau dẫn đến $k_{1}=k_{2}\rightarrow 3x_{1}^{2}+6x_{1}=3x_{2}^{2}+6x_{2}\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2}+2)=0$
Lại có A;B phân biệt nên $ x_{1} \neq x_{2}$ dẫn đến $ x_{1}+x_{2}=-2$
Gọi $I(x_{I};y_{I})$ là trung điểm của A,B ta có $x_{I}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-2}{2}=-1$
Có $y_{I}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{x_{1}^{3}+3x_{1}^{2}-4+x_{2}^{3}+3x_{2}^{2}-4}{2}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}.x_{2}(x_{1}+x_{2})+3(x_{1}+x_{2})^{2}-6.x_{1}.x_{2}-8}{2}=\frac{(-2)^{3}-3.x_{1}.x_{2}.(-2)+3.(-2)^{2}-6.x_{1}.x_{2}-8}{2}=-2\rightarrow I(-1,-2)$
Thay tạo độ của $I$ vào $(C)$ ta thấy $ I \in (C)$. (ĐPCM)
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh