Chủ đề này có 1 trả lời

[tanh]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+1=z$.Tìm $min$:

$P=\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+zx}+\frac{z^3}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$

[25 minutes]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+1=z$.Tìm $min$:

$P=\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+zx}+\frac{z^3}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$

Từ giả thiết ta có $x+y+1=z\Rightarrow (x+1)(y+1)=z+xy\leqslant \frac{(x+1+y+1)^2}{4}=\frac{(z+1)^2}{4}$   (*)

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

   $P\geqslant \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2+2xyz}+\frac{z^3}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$

Sử dụng (*) ta có 

  $P\geqslant \frac{x^2+y^2}{1+\frac{2xyz}{x^2+y^2}}+\frac{z^3}{\frac{(z+1)^2}{4}}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{\frac{(z+1)^2}{4}}}$

$P\geqslant \frac{x^2+y^2}{1+z}+\frac{4z^3}{(z+1)^2}+\frac{28}{(z+1)^2}$

Lại có $x^2+y^2\geqslant \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{(z-1)^2}{2}$

Tóm lại $P\geqslant f(z)=\frac{(z-1)^2}{2(z+1)}+\frac{4z^3+28}{(z+1)^2}=\frac{9z^3-z^2-z+57}{2(z+1)^2}$

Xét $f'(z)=\frac{(3z-5)(3z^3+\frac{51z^2}{3}+37z+23)}{(z+1)^4}$

$\Rightarrow P\geqslant f(z)\geqslant f(\frac{5}{3})=\frac{53}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $z=\frac{5}{4},x=y=\frac{1}{3}$