Chủ đề này có 6 trả lời

[tiendatlhp]

Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1. Tìm min:

P=$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+\frac{1}{\sqrt[6]{a^{3}+b^{3}+c^{3}}}$

[luuvanthai]

Đặt $a^{2}b=x,b^{2}c=y,c^{2}a=z\Rightarrow xyz=1, xy^{2}=b^{3},yz^{2}=c^{3},x^{2}z=a^{3}$

$P=x+y+z+\frac{1}{\sqrt[6]{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}}$

AD $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^{3}$

$x+y+z=t(t\geq 3)$

Khao sát $f(t)=t+\frac{1}{\sqrt[6]{\frac{4t^{3}}{27}-1}}$ với t$\geq 3$ là ok.

[buiminhhieu]

Đặt $a^{2}b=x,b^{2}c=y,c^{2}a=z\Rightarrow xyz=1,$ $xy^{2}=b^{3},yz^{2}=c^{3},x^{2}z=a^{3}$

$P=x+y+z+\frac{1}{\sqrt[6]{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}}$

AD $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^{3}$

$x+y+z=t(t\geq 3)$

Khao sát $f(t)=t+\frac{1}{\sqrt[6]{\frac{4t^{3}}{27}-1}}$ với t$\geq 3$ là ok.

Dòng này hơi lạ bạn kiểm tra lại xem đúng không?

[luuvanthai]

Dòng này hơi lạ bạn kiểm tra lại xem đúng không?

Đúng mà $xy^{2}=a^{2}b.b^{4}c^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}.b^{3}=b^{3}$

[buiminhhieu]

Đặt $a^{2}b=x,b^{2}c=y,c^{2}a=z\Rightarrow xyz=1, xy^{2}=b^{3},yz^{2}=c^{3},x^{2}z=a^{3}$

$P=x+y+z+\frac{1}{\sqrt[6]{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}}$

AD $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^{3}$

$x+y+z=t(t\geq 3)$

Khao sát $f(t)=t+\frac{1}{\sqrt[6]{\frac{4t^{3}}{27}-1}}$ với t$\geq 3$ là ok.

Còn cm dòng này đi

[Kaito Kuroba]

Còn cm dòng này đi

 

Dòng này phải thế này: $\sum xy^2\leq \frac{1}{9}\left ( x+y+z \right )^3$

Cách chứng minh khá đơn giản chỉ cần dùng BĐT Chebyshev là OK!!!!

[tienthcsln]

Dòng này phải thế này: $\sum xy^2\leq \frac{1}{9}\left ( x+y+z \right )^3$

Cách chứng minh khá đơn giản chỉ cần dùng BĐT Chebyshev là OK!!!!

BĐT trên không đúng, chẳng hạn khi

$x=1; y=2; z=3$

Giải:

Theo BĐT AM-GM: $a^2b+b^2c+c^2a\geq a+b+c$, do đó:

$\frac{1}{\sqrt[6]{a^3+b^3+c^3}}\geq \frac{27\sqrt[3]{3}\sqrt{\sum a^2b\sum ab^2}}{(a+b+c)^4\sqrt{a+b+c}}\geq\frac{27\sqrt[3]{3}}{(a+b+c)^{\frac{7}{2}}}$

Đặt $a+b+c=t, t\geq 3$. Xét hàm $f(t)=t+\frac{27\sqrt[3]{3}}{t^\frac{7}{2}}$ ta có:

$f'(t)> 0 \Rightarrow f(t)\geq f(3)=3+\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$

$\Rightarrow min P=3+\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$ khi $a=b=c=1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienthcsln: 15-05-2014 - 23:43