Trong mặt phảng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : $\left ( x - 1 \right )^{2} + \left ( y + 2 \right )^{2} = 4$ và hai điểm A(1;2), B(-3;4). Tìm điểm M nằm trên (C) sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất
Tìm điểm M nằm trên (C) : $\left ( x - 1 \right )^{2} + \left ( y + 2 \right )^{2} = 4$ sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất
#1
Đã gửi 16-05-2014 - 01:35
#2
Đã gửi 17-05-2014 - 11:31
Trong mặt phảng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : $\left ( x - 1 \right )^{2} + \left ( y + 2 \right )^{2} = 4$ và hai điểm A(1;2), B(-3;4). Tìm điểm M nằm trên (C) sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất
Thông cảm mình chưa biết gõ Latex. Hướng dẫn giải như sau:
- Gọi I là trung điểm AB, I(-1;3)
- Dùng quy tắc hiệu vecto tách MA theo IA và IM, MB theo IB và IM. Sau đó biến đổi MA2+MB2 về biểu thức mới và thấy MA2+MB2 nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất.
- Lập phương trình đường thẳng IJ với J là tâm đường tròn (C). Tìm giao của IJ với (C) sẽ được hai điểm M1, M2. Tính IM1 và IM2 được đoạn nào ngắn hơn thì chính là điểm M cần tìm. Như vậy bài toán này có thể ra đề tìm điểm M để MA2+MB2 lớn nhất cũng làm tương tự.
- littleb yêu thích
#3
Đã gửi 17-05-2014 - 13:09
Trong mặt phảng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : $\left ( x - 1 \right )^{2} + \left ( y + 2 \right )^{2} = 4$ và hai điểm A(1;2), B(-3;4). Tìm điểm M nằm trên (C) sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất
Gọi C là trung điểm AB. M là điểm nằm ngoài AB nên theo định lý đường trung tuyến ta có:
$MC^2=\frac{MA^2+MB^2}{2}-\frac{AB^2}{4}\Leftrightarrow MA^2+MB^2=2MC^2+\frac{AB^2}{2}$
$MA^{2} + MB^{2}$ min
$\Leftrightarrow 2MC^2+\frac{AB^2}{2}$ min
$\Leftrightarrow MC^2$ min
M thuộc (C) tâm I nên MC nhỏ nhất khi M là giao điểm của CI và (C) sao cho M nằm giữa C và I.
- leduylinh1998, HG98 và littleb thích
Sống trong cuộc sống cần có một tấm lòng!
#4
Đã gửi 23-05-2014 - 16:03
Mình làm được rồi. Cảm ơn bạn nhiều nha
Nhưng mà đến đoạn chứng mình MC nhỏ nhất, mình dùng bất đẳng thức trong tam giác để suy ra M thuộc IC . Nó ra lẻ lắm, không biết là đúng hay sai ..
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh