Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn :
$x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$
CMR: $(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ chia hết cho $81$
Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn :
$x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$
CMR: $(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ chia hết cho $81$
''Chúa không chơi trò xúc xắc.''
Albert Einstein
Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn :
$x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$
CMR: $(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ chia hết cho $81$
Dễ dàng chứng minh được $M=3(x-y)(y-z)(z-x)=3(x+y+z)$
Để chứng minh $M$ chia hết cho $81,$ ta chứng minh $x+y+z$ chia hết cho $27.$
Thật vậy, xét số dư của ba số $x, y, z$ khi chia cho $3,$ ta có:
Trường hợp 1: Không có ba số nào cùng số dư khi chia cho $3$
Khi đó $x-y\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ y-z\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ z-x\ \not{\vdots}\ 3$
$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \not{\vdots}\ 3$
Mặt khác $x+y+z\equiv 0+1+2\equiv 0\ (\bmod\ 3)$
Do đó trường hợp này không thể xảy ra.
Trường hợp 2: Có hai số cùng số dư khi chia cho $3$
Không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là $x$ và $y$
Khi đó $x-y\ \vdots\ 3\ ;\ y-z\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ z-x\ \not{\vdots}\ 3$
$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \vdots\ 3$
Mặt khác $x+y+z\ \not{\vdots}\ 3$ nên trường hợp này không xảy ra.
Vì vậy cả ba số có cùng số dư khi chia cho $3$
Khi đó $x-y\ \vdots\ 3\ ;\ y-z\ \vdots\ 3\ ;\ z-x\ \vdots\ 3$
$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \vdots\ 27$
Mà $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$ nên $x+y+z\ \vdots\ 27$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
P/s: Lúc nãy gửi nhầm Pic
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
$x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$ $(1)$
Nếu 3 số x , y, z có số dư khác nhau khi chia cho 3 thì x -y ,y - z , z -x cùng ko chia hết cho 3
Mà x + y + z chia hết cho 3 . từ (1) suy ra vô lí.
+ Nếu trong 3 sô x,y,z chỉ có 2 số chia cho 3 có cùng số dư thì 1 trong 3 hiệu x -y ,y - z , z -x có 1 hiệu chia hết cho 3
mà x + y + z ko chia hết cho 3 nên từ (1) suy ra vô lí.
vậy x,y,z có cùng số dư khi chia cho 3. do dó (x -y) (y - z) ( z -x ) chia hết cho 27
đặt a = x -y. b = y-z . c = z-x thì a+b+c = 0 và abc chia hết cho 27
suy ra $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ chia hết cho 3.27 = 81
P/S: bị chậm mất rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tang Sy: 16-05-2014 - 20:49
Thành công không phải là chìa khóa mở cánh cửa hạnh phúc.
Hạnh phúc là chìa khóa dẫn tới cánh cửa thành công.
Nếu bạn yêu điều bạn đang làm, bạn sẽ thành công
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh