Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho $a,b,c>0$ và $a^2b+b^2c+c^2a=3$

Cmr:

$\sum \sqrt[3]{a+7}\leq 2(a^4+b^4+c^4)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 19-05-2014 - 20:22

[hoangmanhquan]

Từ GT ta có:

$3=a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2}{2}$

$\leq \frac{a^4+b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+b^4+c^4+3}{4}$

$=\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{4}+\frac{3}{4}$

$=>a^4+b^4+c^4\geq 3$

Do đó:

$4. VT=\sum \sqrt{(a+7).8.8} \leq \sum\frac{a+23}{3}$
$=\frac{a+b+c}{23}$
$\leq \frac{a^2+b^2+c^2+3}{6}+23$
$\leq \frac{a^4+b^4+c^4+3}{12}+23+\frac{1}{2}$

$\leq \frac{a^4+b^4+c^4}{12}+\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{12}+23$

$\leq 8(a^4+b^4+c^4)$

$=> VT\leq 2(a^4+b^4+c^4)$

$=> Đpcm$

Dấu $"="$ xảy ra $<=> a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 19-05-2014 - 21:32

[Kaito Kuroba]

Từ GT ta có:

$3=a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2}{2}$

$\leq \frac{a^4+b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+b^4+c^4+3}{4}$

$=\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{4}+\frac{3}{4}$

$=>a^4+b^4+c^4\geq 3$

Có thể thế này sẽ ngắn hơn:

Áp dụng AM-Gm cho 3 số ta có: $\sum \left (a^4+a^4+b^4  \right )\geq 3\sum a^2b
\Rightarrow \sum a^4\geq \sum a^2b=3$

 

P/s: Sao giống Viet Hoang 99 quá!!! (gửi bài lên rồi tự xử!!! )

[Super Fields]

Từ GT ta có:

$3=a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2}{2}$

$\leq \frac{a^4+b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+b^4+c^4+3}{4}$

$=\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{4}+\frac{3}{4}$

$=>a^4+b^4+c^4\geq 3$

Do đó:

$4. VT=$$\sum \sqrt{(a+7).8.8}$ $\leq \sum\frac{a+23}{3}$
$=\frac{a+b+c}{23}$
$\leq \frac{a^2+b^2+c^2+3}{6}+23$
$\leq \frac{a^4+b^4+c^4+3}{12}+23+\frac{1}{2}$

$\leq \frac{a^4+b^4+c^4}{12}+\frac{3(a^4+b^4+c^4)}{12}+23$

$\leq 8(a^4+b^4+c^4)$

$=> VT\leq 2(a^4+b^4+c^4)$

$=> Đpcm$

Dấu $"="$ xảy ra $<=> a=b=c=1$

Chỗ màu đỏ bị nhầm 

 

Chỗ màu xanh chã hiểu gì 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 20-05-2014 - 08:52