11 replies to this topic

[manhto02]

cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ chứng minh $\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}\geq \frac{3}{5}$

Bài 2: cho 3 số thực dương a,b,,c thỏa mãn a+b+c=3 chứng minh $\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\geq 1$

Làm theo cách lớp 9 dùm em nha

Edited by manhto02, 19-05-2014 - 22:17.

[Kaito Kuroba]

1.cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ chứng minh $\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}\geq \frac{3}{5}$

1.

ta có: $$\sum \frac{a^2}{1+2bc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2+2abc\left ( a+b+c \right )}\geq \frac{\left (\sum a^2  \right )^2}{a^2+b^2+c^2+2.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}\geq \frac{3}{5}$$

Edited by Kaito Kuroba, 19-05-2014 - 22:27.

[Hermione Granger]

1.

ta có: $\sum \frac{a^2}{1+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3+2(ab+bc+ca)}\geq$ $\frac{(a+b+c)^2}{3+2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{3}{5} $

làm rõ hơn phần này được không bạn ?

Edited by Hermione Granger, 19-05-2014 - 22:30.

[hoctrocuanewton]

cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ chứng minh $\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}\geq \frac{3}{5}$

 

Ta có :

$\sum (1+\frac{a^{2}}{1+2bc})\geqslant \sum (1+\frac{a^{2}}{1+b^{2}+c^{2}})= \sum \frac{1+(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{1+b^{2}+c^{2}}= \sum \frac{2}{1+b^{2}+c^{2}}(1)$

Áp dụng BĐT schwars ta có :

$\sum \frac{2}{1+b^{2}+c^{2}}\geqslant \frac{18}{3+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= \frac{18}{5}(2)$

Từ (1)(2) suy ra :

$\sum (1+\frac{a^{2}}{1+2bc})\geqslant \frac{18}{5}\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{1+2bc}\geqslant \frac{3}{5}$

Vậy ta được đpcm

[lelinh99]

cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ chứng minh $\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ac}+\frac{c^2}{1+2ab}\geq \frac{3}{5}$

 

$A=\sum \frac{a^2}{1+2bc}=\sum \frac{a^4}{a^2+2a^2bc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2abc(a+b+c)}=\frac{1}{1+2abc(a+b+c)}$

Mà $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}\Rightarrow abc(a+b+c)\leq \frac{(a+b+c)^4}{27}\leq \frac{9(a^2+b^2+c^2)^2}{27}=\frac{1}{3}$

$A\geq \frac{1}{1+2.\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}$

Edited by lelinh99, 19-05-2014 - 22:32.

[Hermione Granger]

$A=\sum \frac{a^2}{1+2bc}=\sum \frac{a^4}{a^2+2a^2bc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2abc(a+b+c)}=\frac{1}{1+2abc(a+b+c)}$

Mà $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}\Rightarrow abc(a+b+c)\leq \frac{(a+b+c)^4}{27}\leq \frac{9(a^2+b^2+c^2)^2}{27}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow A\leq \frac{1}{1+2.\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}$

Ngược dấu rồi bạn ơi 

[lelinh99]

Ngược dấu rồi bạn ơi 

đoạn cuối đánh nhầm dấu thôi bạn ơi, bạn xem lại tí 

[hoctrocuanewton]

 

Bài 2: cho 3 số thực dương a,b,,c thỏa mãn a+b+c=3 chứng minh $\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\geq 1$

 

ta có :

$\sum \frac{a^{2}}{a+2b^{3}}= \sum (a-\frac{2ab^{3}}{a+2b^{3}})\geqslant \sum (a-\frac{2ab^{3}}{3\sqrt[3]{ab^{6}}})= \sum (a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^{2}}b)(1)$

 

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$\sum \sqrt[3]{a^{2}}b\leqslant \sum \frac{(a+a+1)b}{3}= \sum (\frac{2}{3}ab+\frac{1}{3}b)(2)$

 

Từ (1)(2) ta có :

$\sum (a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^{2}}b)\geqslant \sum (a-\frac{4}{9}ab-\frac{2}{9}b)= \frac{7}{9}\sum a-\frac{4}{9}\sum ab\geqslant \frac{7}{9} \sum a-\frac{4}{27}(\sum a)^{2}= \frac{21}{9}-\frac{4}{27}.(3)^{2}= 1$

 

Vậy ta được đpcm

[Nguyen Tang Sy]

$P = \sum \frac{a^2}{a+2b^3} = \sum a - \sum \frac{2ab^3}{a+2b^3} = 3 - \sum \frac{2ab^3}{a+2b^3} $

ta có: $ \sum \frac{2ab^3}{a+b^3 + b^3} \geq \sum \frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}} = \sum \frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}} = \frac{2}{3}\sum b\sqrt[3]{a^2}$ 

Lại có:$a +  ac + ac \geq a\sqrt[3]{c^2}$

           $b + ba + ba \geq b\sqrt[3]{a^2}$

           $c + bc + bc \geq c\sqrt[3]{b^2}$

cộng theo vế ta có:

$(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) \geq 3\sum b\sqrt[3]{a^2}$

suy ra: $3\sum b\sqrt[3]{a^2} \leq 3+2.3 = 9 $

do đó: $ \sum b\sqrt [3]{a^2} \leq 3$

từ đó $P \geq 3 - \frac{2.3}{3} = 1$

Edited by Nguyen Tang Sy, 19-05-2014 - 22:58.

[manhto02]

ta có :

$\sum \frac{a^{2}}{a+2b^{3}}= \sum (a-\frac{2ab^{3}}{a+2b^{3}})\geqslant \sum (a-\frac{2ab^{3}}{3\sqrt[3]{ab^{6}}})= \sum (a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^{2}}b)(1)$

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$\sum \sqrt[3]{a^{2}}b\leqslant \sum \frac{(a+a+1)b}{3}= \sum (\frac{2}{3}ab+\frac{1}{3}b)(2)$

Từ (1)(2) ta có :

$\sum (a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^{2}}b)\geqslant \sum (a-\frac{4}{9}ab-\frac{2}{9}b)= \frac{7}{9}\sum a-\frac{4}{9}\sum ab\geqslant \frac{7}{9} \sum a-\frac{4}{27}(\sum a)^{2}= \frac{21}{9}-\frac{4}{27}.(3)^{2}= 1$

 

Vậy ta được đpcm

phần cố si em không hiểu lắm anh ơi

[hoctrocuanewton]

phần cố si em không hiểu lắm anh ơi

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$a+a+1\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}}$

$a+b^{3}+b^{3}\geqslant 3\sqrt[3]{ab^{6}}$

P/s: thế này hiểu chưa em ? còn thắc mắc chỗ nào nữa không ?

Edited by hoctrocuanewton, 19-05-2014 - 23:21.

[manhto02]

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$a+a+1\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}}$

$a+b^{3}+b^{3}\geqslant 3\sqrt[3]{ab^{6}}$

P/s: thế này hiểu chưa em ? còn thắc mắc chỗ nào nữa không ?

http://diendantoanho...c3/#entry500602 anh vào link này giúp em với