1. Cho n tự nhiên lớn hơn 1.
CMR: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<\frac{3}{4}$
2. (giải ra rồi):
Cho a,b,c dương. a+b+c=3/2.
Tìm Min :A=$a+b+c+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$
giải ra bài 2 rồi nhưng hơi dài, ai có cách ngắn hơn kg?
Đặt S(n)=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$
Rõ ràng với n cangf lớn thì S(n) càng lớn
với n=4 và 3 bđt đúng
Giả sử k đúng cần CM khi n=k+1 $\Rightarrow S(k)< \frac{3}{4}$
NÊn đẻ sử dụng quy nạp thì VT cần cang lớn khi n cạng lơn n ko vượt 3/4.
Vì vậy ta cần tìm x để:
S(k)$\leq \frac{3}{4}-\frac{x}{k}$
x cần thỏa các đk
+ĐK 1: quy nạo từ n sang n+1 th được
+ĐK 2: đúng với 1 số gt đầu .
*Xét đk 1
S(k+1)=S(k)+ $\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$$< \frac{3}{4}-\frac{x}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$ (Đay là đoạn ta đang tìm x)
ta cần CM $S(k+1)< \frac{3}{4}-\frac{x}{k+1}$
do đó $\frac{-x}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< -\frac{x}{k+1}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< \frac{x}{k(k+1)}$
$\Leftrightarrow k(4x-1)+2x> 0$
bđt trên đúng khi x=1/4
Chọn điểm xp từ điểm n=4
bđt đúng khi n=k$\Rightarrow S(k)< \frac{3}{4}-\frac{1}{4k}$
Cần CM $S(k+1)< \frac{3}{4}-\frac{1}{4(k+1)}$
Theo phần trên thì $-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< -\frac{1}{4(k+1)}$
Mà S(k+1)=S(k)$\frac{3}{4}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< \frac{3}{4}-\frac{1}{4(k+1)}$
Bđt đúng.
ps:BẠi này hay thiệt mà dài kinh khủng.